第八章 第八节 第3课时 圆锥曲线中的定点与定值问题-【创新教程】2024高考数学总复习大一轮课时作业word（新教材，人教A版）

第3课时　圆锥曲线中的定点与定值问题 1．已知动圆过定点A(4,0)，且在y轴上截得的弦MN的长为8. (1)求动圆圆心的轨迹C的方程； (2)已知点B(－1,0)，设不垂直于x轴的直线l与轨迹C交于不同的两点P，Q，若x轴是∠PBQ的角平分线，证明直线l过定点． 解：(1)A(4,0)，设圆心C(x，y)，MN线段的中点为E，由几何图形知|ME|＝，|CA|2＝|CM|2＝|ME|2＋|EC|2，即(x－4)2＋y2＝42＋x2，化简得y2＝8x.故轨迹C的方程为y2＝8x. (2)证明：设P(x1，y1)，Q(x2，y2)，由题知y1＋y2≠0，y1y2<0，y＝8x1，y＝8x2，∠PBO＝∠QBO. 所以＝⇒＝⇒8(y1＋y2)＋y1y2(y2＋y1)＝0⇒8＋y1y2＝0. 直线l的方程为：y－y1＝(x－x1)⇒y－y1＝(8x－y)⇒y(y2＋y1)－y1(y2＋y1)＝8x－y⇒y(y2＋y1)＋8＝8x⇒y＝0， x＝1.所以，直线l过定点(1,0)． 2．已知点A(0，－2)，椭圆E：＋＝1(a>b>0)的离心率为，F是椭圆E的右焦点，直线AF的斜率为，O为坐标原点． (1)求E的方程； (2)设过点A的动直线l与E相交于P，Q两点，当△OPQ的面积最大时，求l的方程． 解：(1)设F(c,0)，由条件知，＝， 得c＝. 又＝，所以a＝2，b2＝a2－c2＝1. 故E的方程为＋y2＝1. (2)当l⊥x轴时不合题意， 故设l：y＝kx－2，P(x1，y1)，Q(x2，y2)． 将y＝kx－2代入＋y2＝1， 得(1＋4k2)x2－16kx＋12＝0. 当Δ＝16(4k2－3)>0， 即k2>时，x1,2＝. 从而|PQ|＝|x1－x2|＝ . 又点O到直线PQ的距离d＝. 所以△OPQ的面积S△OPQ＝·d·|PQ|＝. 设＝t， 则t>0，S△OPQ＝＝≤1. 当且仅当t＝2， 即k＝±时等号成立，且满足Δ>0. 所以当△OPQ的面积最大时，l的方程为2y±x＋4＝0. 3．(2023·银川一模)已知椭圆E：＋＝1(a＞b＞0)的焦距为2c，左、右焦点分别是F1，F2，其离心率为，圆F1：(x＋c)2＋y2＝1与圆F2：(x－c)2＋y2＝9相交，两圆的交点在椭圆E上． (1)求椭圆E的方程． (2)已知A，B，C为椭圆E上三个不同的点，O为坐标原点，且O为△ABC的重心．证明：△ABC的面积为定值． 解析：(1)由椭圆E得的离心率为，即e＝＝，又由圆F1：(x＋c)2＋y2＝1与圆F2：(x－c)2＋y2＝9，可得圆心分别为F1(－c,0)，F2(c,0)，半径分别为r1＝1，r2＝3， 因为圆F1：(x＋c)2＋y2＝1与圆F2：(x－c)2＋y2＝9相交，两圆的交点在椭圆E上， 可得2a＝r1＋r2＝1＋3，解得a＝2，则c＝，可得b＝＝，所以椭圆E的方程为 ＋＝1. (2)证明：设A(x1，y1)，B(x2，y2)，当AB垂直于x轴时，x1＝x2，因为O为△ABC的重心，所以C(2,0)或C(－2,0)． 根据椭圆的对称性，不妨令C(－2,0)，此时A，B，可得S△ABC＝. 当AB与x轴不垂直时，设直线AB的直线方程为y＝kx＋m， 联立方程组，整理得(1＋2k2)x2＋4kmx＋2(m2－2)＝0， 则x1＋x2＝－，x1x2＝， 设C(x3，y3)，则x3＝－(x1＋x2)＝， y3＝－(y1＋y2)＝. 代入＋＝1，得1＋2k2＝2m2，又由|AB|＝|x1－x2|，原点O到AB的距离d＝，所以S△ABC＝|AB|d＝|m|＝·＝·＝， 所以S△ABC＝3S△OAB＝，即△ABC的面积为定值． 4．(2023·济宁一模)已知椭圆C：＋＝1(a＞b＞0)，A、B分别为椭圆C的右顶点、上顶点，F为椭圆C的右焦点，椭圆C的离心率为，△ABF的面积为. (1)求椭圆C的标准方程； (2)点P为椭圆C上的动点(不是顶点)，点P与点M，N分别关于原点、y轴对称，连接MN与x轴交于点E，并延长PE交椭圆C于点Q，则直线MP的斜率与直线MQ的斜率之积是否为定值？若是，求出该定值；若不是，请说明理由． 解析：(1)由题意得＝，则a＝2c，b＝c. △ABF的面积为(a－c)b＝，则(a－c)b＝. 将a＝2c，b＝c代入上式，得c＝1，则a＝2，b＝，故椭圆C的标准方程为＋＝1. (2)由题意可知直线PQ的斜率一定存在，设直线PQ的方程为y＝kx＋m，设P(x1，y1)，Q(x2，y2)，则M(－x1，－y1)，N(－x1，y1)，E(－x1,0)， 联立方程，得(3＋4k2)x2＋8kmx＋4m2－12＝0， ∴x1＋x2＝－， ∴y1＋y2＝k(x1＋x2)＋2m＝k＋2m＝， ∴kMQ＝＝＝－，k