第八章 第八节 第1课时 圆锥曲线中的求值与证明问题-【创新教程】2024高考数学总复习大一轮课时作业word（新教材，人教A版）

第八节　圆锥曲线中综合问题(教师专享) 第1课时　圆锥曲线中的求值与证明问题 1．(2023·洛阳统考一)已知抛物线C：x2＝4y，过点P(0,2)的直线与x轴交于点M，与C交于两点A、B、O为坐标原点，直线BO与直线y＝－m(m＞0)交于点N. (1)若直线AN平行于y轴．求m； (2)设＝λ、＝μ，求λ＋μ. 解析：(1)由题意知直线AB的斜率存在且不为0，设其方程为y＝kx＋2(k≠0) 令y＝0，解得x＝－，故M 设A(x1，y1)，B(x2，y2) 联立，整理得x2－4kx－8＝0 其中Δ＝16k2＋32＞0，x1＋x2＝4k，x1x2＝－8，则x1≠0，x2≠0 直线BO的方程为y＝x＝x＝x 令y＝－m，解得x＝－，则N 若直线AN平行于y轴，则x1＝－，即x1x2＝－4m＝8，解得m＝2. (2)＝，＝(－x1,2－y1)，＝，＝(－x2,2－y2) 若＝λ，则＝λ(－x1,2－y1)，则x1＋＝－λx1，即λ＝－1－ 同理可得μ＝－1－ ∴λ＋μ＝－2－·＝－2－·＝－2－·＝－1. 2．设椭圆E：＋＝1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，过点F1的直线交椭圆E于A，B两点．若椭圆E的离心率为，△ABF2的周长为4. (1)求椭圆E的方程； (2)设不经过椭圆的中心而平行于弦AB的直线交椭圆E于点C，D，设弦AB，CD的中点分别为M，N，证明：O，M，N三点共线． 解：(1)由题意知，4a＝4，a＝. 又e＝，所以c＝，b＝，所以椭圆E的方程为＋＝1. (2)证明：当直线AB，CD的斜率不存在时，由椭圆的对称性知，中点M，N在x轴上，O，M，N三点共线；当直线AB，CD斜率存在时，设其斜率为k，且设A(x1，y1)，B(x2，y2)，M(x0，y0)，则 两式相减，得＋－＝0， 所以＝－， ＝－，所以·＝－，·＝－，即k·kOM＝－，所以kOM＝－.同理可得kON＝－，所以kOM＝kON，所以O，M，N三点共线． 3．(2023·福建四地市质检一)设点F(1,0)，动圆经过点F且和直线x＝－1相切，记动圆的圆心P的轨迹为曲线E. (1)求曲线E的方程； (2)过点F的直线交曲线E于A，B两点，另一条与直线AB平行的直线交x轴于点M，交y轴于点N，若△NAB是以点N为直角顶点的等腰直角三角形，求点M的横坐标． 解：(1)由题意，点P到点F的距离等于到直线x＝－1的距离， 所以点P的轨迹是以F(1,0)为焦点，直线x＝－1为准线的抛物线，p＝2 ， 故曲线E的方程是y2＝4x. (2)显然，直线AB不与x轴重合，设直线AB的方程为x＝my＋1， 与E联立得：y2－4my－4＝0 设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则 则yC＝＝2m，xC＝m＋1＝2m2＋1， 即AB中点C坐标为(2m2＋1,2m)， |AB|＝(x1＋1)＋(x2＋1)＝m(y1＋y2)＋4＝4m2＋4 由题意△NAB是以点N为直角顶点的等腰直角三角形，故NC⊥AB，过C与AB垂直的直线，其方程为y＝－m(x－2m2－1)＋2m， 令x＝0，得y＝2m3＋3m，故点N坐标为(0,2m3＋3m)， 又|NC|＝|AB|＝2m2＋2， 故(2m2＋1)＝2m2＋2， 令＝t，则t(2t2－1)＝2t2，由t≥1， 解得t＝， 即＝，解得m2＝ 又直线MN的方程为y＝x＋2m3＋3m， 令y＝0，得到点M横坐标为xM＝－2m4－3m2＝. 4．(2023·南通密卷)已知抛物线y2＝4x，点P(2,0)，Q(4,0)．过点Q的直线交抛物线于点A，B，AP，BP分别交抛物线于点C，D，连接AD，DC，CB. (1)若直线AB，CD的斜率分别为k1，k2， 求的值； (2)过点P与x轴垂直的直线分别交AD，BC于点E，F，求证：PE＝PF. 解：(1)设A(x1，y1)，B(x2，y2)，C(x3，y3)，D(x4，y4)，直线AC的方程为x＝m1y＋2，所以k2＝＝＝，k1＝＝. 联立得y2－4m1y－8＝0， 所以同理y2y4＝－8 由题意得直线AB的方程为y＝k1(x－4)． 联立得kx2－(8k＋4)x＋16k＝0， 所以， 从而y1y2＝k(x1－4)(x2－4)＝k[x1x2－4(x1＋x2)＋16]＝－16， 所以＝＝＝－＝2 (2)证明由题意得直线PF的方程为x＝2. 设直线AD的斜率为k3，则k3＝＝， 所以直线AD的方程为y－y1＝(x－x1)． 令x＝2，则yE＝(2－x1)＋y1. 同理yF＝(2－x1)＋y2. 所以＝＝＝＝＝1，故PE＝PF. 学科网（北京）股份有限公司 $