第一章 第四节 基本不等式-【创新教程】2024高考数学总复习大一轮课时作业word（新教材，人教A版）

第四节　基本不等式 [基础巩固练] 1．已知m＞0，n＞0，mn＝81，则m＋n的最小值是(　　 ) A．9　　B．18　　　C．9　　　D．27 解析：B　[因为m＞0，n＞0，由基本不等式m＋n≥2得， m＋n≥18，当且仅当m＝n＝9时等号成立， 所以m＋n的最小值是18，故选B.] 2．(2023·武汉二模)已知正实数x，y，则“x＋y＝1”是“＋≥4”的(　　 ) A．必要不充分条件 B．充分不必要条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 解析：B　[＋＝(x＋y)＝2＋＋≥2＋2＝4，当且仅当x＝y＝等号成立，所以充分性成立， 当x＝y＝时，＋≥4，此时x＋y≠1，所以必要性不成立．故选B.] 3．“对所有x∈(1,4]，不等式x2－mx＋m＞0恒成立”的充分不必要条件是(　　 ) A．m＞4 B．m＜ C．m＜4 D．m＜2 解析：D　[由不等式x2－mx＋m＞0恒成立，得＞m恒成立， 因为＝＝x－1＋＋2≥2＋2＝4， 当且仅当x－1＝，即x＝2时取得等号， 所以不等式x2－mx＋m＞0恒成立，则m＜4， 因为m＜2是m＜4的充分不必要条件，故选D.] 4．(2023·福建四地市质检一)已知a＞0，b＞0，且(a－2)(b－1)＝，则a＋2b的最小值为(　　 ) A．3＋ B．8 C．4＋ D．10 解析：D　[(a－2)(b－1)＝整理为：2ab＝5＋2(a＋2b)，由基本不等式得：2ab≤，即5＋2(a＋2b)≤，解得：a＋2b≥10或a＋2b≤－2，由于a＞0，b＞0，所以a＋2b≤－2舍去，从而a＋2b的最小值是10.故选D.] 5．(多选)设正实数a，b满足a＋b＝1，则下列各命题正确的是(　　 ) A．a2＋b2的最小值为 B.的最大值为 C.＋的最小值为4 D.的最大值为1 解析：ABC　[由题意正实数a，b满足a＋b＝1，可得ab≤2＝，当且仅当a＝b＝时取等号，故a2＋b2＝(a＋b)2－2ab＝1－2ab≥1－＝，即a2＋b2的最小值为，A正确； ≤＝，即的最大值为，B正确； ＋＝(a＋b)＝2＋＋≥2＋2＝4，当且仅当a＝b＝时取等号， 即＋的最小值为4，C正确；因为正实数a，b，a＋b≥2，故≤＝≤， 当且仅当a＝b＝时取等号，故D错误，故选ABC.] 6．(多选)(2023·聊城一模)设0＜a＜b，且a＋b＝2，则(　　 ) A．1＜b＜2 B．2a－b＞1 C．ab＜1 D.＋≥3 解析：AC　[对于A：∵0＜a＜b，且a＋b＝2， ∴0＜2－b＜b，解得1＜b＜2，故A正确；对于B：∵a＜b，即a－b＜0， ∴2a－b＜20＝1，故B错误；对于C：∵0＜a＜b，且a＋b＝2，∴ab≤＝1，当且仅当a＝b＝1时，等号成立，∴ab＜1，故C正确；对于D，∵0＜a＜b，且a＋b＝2，∴＝(a＋b)＝≥＝(3＋2)， 当且仅当＝，即a＝2－2，b＝4－2时等号成立， ∵(3＋2)－3＝＜0，∴(3＋2)＜3， ∴D错误．故选AC.] 7．(2023·济南三模)已知正实数a，b满足ab＝4，则＋的最小值为______． 解析：由题设，＋≥2＝＝3， 当且仅当b＝9a＝6时等号成立． 答案：3 8．若x＞2，则y＝的最小值为__________________________________________． 解析：因为x＞2， 所以y＝＝＝x－2＋＋2≥2＋2＝6， 当且仅当x－2＝即x＝4时，取等号， 故y＝的最小值为6. 答案：6 9．已知x＞0，y＞0，x＋2y＋xy＝30，求 (1)xy的最大值； (2)2x＋y的最小值． 解析：(1)因为x＞0，y＞0，根据基本不等式，30＝x＋2y＋xy≥2＋xy(当且仅当x＝2y＝6取等号) 令＝t(t＞0)，则t2＋2t－30≤0， 解得－5≤t≤3，又t＞0， 所以0＜t≤3，即0＜≤3， 所以0＜xy≤18，故xy的最大值为18. (2)由x＋2y＋xy＝30可知，y＝＞0,0＜x＜30 2x＋y＝2x＋＝2(x＋2)＋－5≥ 2－5＝11， 当且仅当2(x＋2)＝即x＝2时取等号，所以2x＋y≥11， 所以2x＋y的最小值为11. 10．由中国发起成立的全球能源互联网发展合作组织在京举办研讨会．会议发布了中国2030年前碳达峰、2060年前碳中和、2030年能源电力发展规划及2060年展望等研究成果，在国内首次提出通过建设中国能源互联网实现碳减排目标的系统方案．为积极响应国家节能减排的号召，某企业计划引进新能源汽车生产设备，通过市场调查分析，全年需投入固定成本2 500万元，每生产x(百辆)新能源汽车，需另投入成本C(x)万元，且C(x)＝，由市场调研知，每辆车售价15万元，且生产的车辆当年能全部销售完． (1)请写