第四章 第四节 简单的三角恒等变换-【创新教程】2024高考数学总复习大一轮课时作业word（新教材，人教A版）

第四节　简单的三角恒等变换 [基础巩固练] 1．cos275°＋cos215°＋cos 75°cos 15°＝(　　 ) A.　　B.　　　C.　　　D．1＋ 解析：C　[原式＝sin215°＋cos215°＋sin 15°cos 15°＝1＋sin 30°＝1＋＝.] 2．(2023·沧州二模)若sin α＋2cos α＝0，则sin2 α－sin 2α(　　 ) A．－ B．0 C．1 D. 解析：D　[因为sin α＋2cos α＝0，所以tan α＝2，所以sin2 α－sin 2α＝＝＝＝.故选D.] 3．(2023·武汉质检)若＝·sin 2θ，则sin 2θ＝(　　 ) A. B. C．－ D．－ 解析：C　[由题意知＝ sin 2θ，所以2(cos θ＋sin θ)＝sin 2θ， 则4(1＋sin 2θ)＝3sin22θ，因此sin 2θ＝－或sin 2θ＝2(舍去)．] 4．(多选)下列各式中，值为的是(　　 ) A．cos2－sin2 B. C．2sin 195°cos 195° D. 解析：BC　[cos2－sin2＝cos＝cos ＝，故A错误； ＝·＝tan 45°＝，故B正确；2sin 195°cos 195°＝2sin(180°＋15°)cos(180°＋15°)＝2sin 15°cos 15°＝sin 30°＝，故C正确；＝＝≠，故D错误．] 5．(多选)(2023·东营模拟)已知函数f(x)＝，则下列说法正确的是(　　 ) A．f(x)的最小正周期为π B．f(x)的最大值为2 C．f(x)的值域为(－2,2) D．f(x)的图象关于对称 解析：ACD　[∵f(x)＝＝－2sin，其中cos≠0， ∴≠1，∴f(x)的值域为(－2,2)；由T＝＝π，则f(x)的最小正周期为π；令2x＋＝kπ(k∈Z)，解得x＝－(k∈Z)，即f(x)的图象关于对称．综上，选项A、C、D正确，选项B错误．故选A、C、D.] 6.＝________. 解析：＝＝＝＝. 答案： 7．(2023·平顶山模拟)已知sin α＝－，若＝2，则tan(α＋β)＝________. 解析：因为sin α＝－，α∈，所以cos α＝.由＝2，得sin(α＋β)＝2cos[(α＋β)－α]，即cos(α＋β)＝sin(α＋β)， 所以tan(α＋β)＝. 答案： 8．已知α，β为锐角，cos α＝，sin β＝，则cos 2α＝________，2α－β＝________. 解析：因为cos α＝，所以cos 2α＝2cos2α－1＝.又因为α，β为锐角，sin β＝，所以 sin α＝，cos β＝，因此sin 2α＝2sin αcos α＝，所以sin(2α－β)＝×－×＝.因为α为锐角，所以0＜2α＜π.又cos 2α＞0，所以0＜2α＜，又β为锐角，所以－＜2α－β＜，又sin(2α－β)＝，所以2α－β＝. 答案：　 9．已知sin＝，α∈.求： (1)cos α的值； (2)sin的值． 解：(1)sin＝，即sin αcos ＋ cos αsin ＝，化简得sin α＋cos α＝，① 又sin2α＋cos2α＝1，② 由①②解得cos α＝－或cos α＝，因为α∈.所以cos α＝－. (2)因为α∈，cos α＝－，所以sin α＝，则cos 2α＝1－2sin2α＝－，sin 2α＝ 2sin αcos α＝－，所以sin＝sin 2αcos －cos 2αsin ＝－. 10．已知α，β为锐角，tan ＝，cos(α＋β)＝－. (1)求cos 2α的值； (2)求tan(α－β)的值． 解：(1)∵tan ＝，∴tan α＝＝＝.又α为锐角，且sin2α＋cos2α＝1，tan α＝，∴sin α＝，cos α＝，∴cos 2α＝cos2α－sin2α＝－. (2)由(1)得，sin 2α＝2sin αcos α＝，则tan 2α＝＝－.∵α，β∈，∴α＋β∈(0，π)．又cos(α＋β)＝－，∴sin(α＋β)＝＝，则tan(α＋β)＝＝－2，∴tan(α－β)＝tan[2α－(α＋β)]＝＝－. [能力提升练] 11.(多选)《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著，书中有一个“引葭赴岸”问题：“今有池方一丈，葭生其中央．出水一尺，引葭赴岸，适与岸齐，问水深、葭长各几何？”其意思为“今有水池1丈见方(即CD＝10尺)，芦苇生长在水的中央，长出水面的部分为1尺．将芦苇向池岸牵引，恰巧与水岸齐接(如图所示)．试问水深、芦苇的长度各是多少？”设θ＝∠BAC，现有下述四个结论正确的是(　　 ) A．水深为12尺 B．芦苇长为15尺 C