第四章 第七节 第3课时 解三角形的实际应用-【创新教程】2024高考数学总复习大一轮课时作业word（新教材，人教A版）

第3课时　解三角形的实际应用 [基础巩固练] 1．如图，一架飞机从A地飞往B地，两地相距500 km.飞行员为了避开某一区域的雷雨云层，从A点起飞以后，就沿与原来的飞行方向AB成12°角的方向飞行，飞行到中途C点，再沿与原来的飞行方向AB成18°角的方向继续飞行到终点B点．这样飞机的飞行路程比原来的路程500 km大约多飞了(sin 12°≈0.21，sin 18°≈0.31)(　　) A．10 km　　　　　 B．20 km C．30 km D．40 km 解析：B　[在△ABC中，由A＝12°，B＝18°，得C＝150°，由正弦定理得＝＝，所以≈≈，所以AC＝310 km，BC＝210 km，所以AC＋BC－AB＝20 km.] 2．(2023·商丘模拟)岳阳楼与湖北武汉黄鹤楼，江西南昌滕王阁并称为“江南三大名楼”，是“中国十大历史文化名楼”之一，世称“天下第一楼”．其地处岳阳古城西门城墙之上，紧靠洞庭湖畔，下瞰洞庭，前望君山．始建于东汉建安二十年(215年)，历代屡加重修，现存建筑沿袭清光绪六年(1880年)重建时的形制与格局．因北宋滕宗谅重修岳阳楼，邀好友范仲淹作《岳阳楼记》使得岳阳楼著称于世．自古有”洞庭天下水，岳阳天下楼”之美誉．小李为测量岳阳楼的高度选取了与底部水平的直线AC，如图，测得∠DAC＝30°，∠DBC＝45°，AB＝14米，则岳阳楼的高度CD约为(≈1.414，≈1.732)(　　) A．18米 B．19米 C．20米 D．21米 解析：B　[Rt△ADC中，∠DAC＝30°，则AC＝CD，Rt△BDC中，∠DBC＝45°，则BC＝CD，由AC－BC＝AB得CD－CD＝14⇒CD＝＝7(＋1)≈19.124，CD约为19米．故选B.] 3．“云楼”是白云区泉湖公园的标志性建筑，也是来到这里必打卡的项目之一，它端坐于公园的礼仪之轴，建筑外形主体木质结构，造型独特精巧，是泉湖公园的“阵眼”和“灵魂”，同时也是泉湖历史与发展变化的资料展示馆．小张同学为测量云楼的高度，如图，选取了与云楼底部D在同一水平面上的A，B两点，在A点和B点测得C点的仰角分别为45°和30°，测得AB＝25米，∠ADB＝150°，则云楼的高度CD为(　　) A．20米 B．25米 C．20米 D．25米 解析：B　[设CD＝x，由锐角三角函数得到AD＝x，BD＝x，再在△ABD中利用余弦定理求出x，即可得解． 依题意∠CAD＝45°，∠CBD＝30°，设CD＝x，在Rt△ACD、Rt△BCD中，tan∠CAD＝＝1，tan∠CBD＝＝，所以AD＝x，BD＝x，在△ABD中，由余弦定理AB2＝AD2＋BD2－2AD·BDcos∠ADB，即2＝x2＋2－2x·x·，解得x＝25或x＝－25(舍去)，所以云楼的高度CD为25米；故选B.] 4．台风中心从M地以20 km/h的速度向西北方向移动，离台风中心10 km内的地区为危险地区，城市N在M地正西方向的80 km处，则城市N处于危险地区内的时长为(　　) A. h　B．2 h　　C. h　　D. h 解析：D　[以N为圆心，10为半径作圆，与M运动方向交于A，B两点， 由题意知：∠M＝，MN＝80，AN＝BN＝ 10，作NC⊥MB，垂足为C，则C为AB中点，∵NC＝MN·sin＝40，∴AC＝＝10，∴AB＝2AC＝20， ∴城市N处于危险地区内的时长为20÷20＝.故选D.] 5．(多选)某人向正东走了x km后向右转了150°，然后沿新方向走了3 km，结果离出发点恰好 km，那么x的值是(　　) A. B．2 C．3 D．6 解析：AB　[如图，AB＝x，BC＝3，AC＝，∠ABC＝30°. 由余弦定理得3＝x2＋9－2×3×x×cos 30°.解得x＝2或x＝.] 6．一船以每小时15 km的速度向正东航行，船在A处看到一个灯塔M在北偏东60°方向，行驶4 h后，船到B处，看到这个灯塔在北偏东15°方向，这时船与灯塔的距离为________km. 解析：如图所示，依题意有： AB＝15×4＝60，∠MAB＝30°，∠AMB＝45°， 在△AMB中，由正弦定理得＝， 解得BM＝30(km)． 答案：30 7．在一次抗洪抢险中，某救生艇发动机突然发生故障停止转动，失去动力的救生艇在洪水中漂行．此时，风向是北偏东30°方向，风速是20 km/h；水的流向是正东方向，流速是20 km/h.若不考虑其他因素，救生艇在洪水中漂行的速度的方向为北偏东____________方向，大小为________km/h. 解析：画出示意图：由＝，∠OAC＝120°，可得∠AOC＝30°，即可得救生艇在洪水中漂行的速度的方向；再由余弦定理可求出救生艇在洪水中漂行的