第四章 第七节 第2课时 解三角形的综合应用-【创新教程】2024高考数学总复习大一轮课时作业word（新教材，人教A版）

第2课时　解三角形的综合应用 [基础巩固练] 1．在△ABC中，∠C＝，AC＝2，M为AB边上的中点，且CM的长度为，则AB＝(　　) A．2　B．4　　C．2　　D．6 解析：A　[在△AMC中，cos∠AMC＝；在△BCM中，cos∠BMC＝； ∵∠AMC＋∠BMC＝π，∴cos∠AMC＝－cos∠BMC，又AM＝BM，∴＝－，整理可得：AC2＋BC2＝2，即4＋BC2＝2， ∴2AM2＝AB2＝BC2－10，∴2BC2－20＝AB2；在△ABC中，AB2＝AC2＋BC2－2AC·BCcos C＝4＋BC2－2BC＝AB2，∴4＋BC2－2BC＝2BC2－20，解得：BC＝－6(舍)或BC＝4，∴AB＝＝2.故选A.] 2．如图，四边形ABCD四点共圆，其中BD为直径，AB＝4，BC＝3，∠ABC＝60°，则△ACD的面积为(　　) A. B. C. D. 解析：C　[在△ABC中，因为AB＝4，BC＝3，∠ABC＝60°，所以由余弦定理，得AC＝＝，由正弦定理，得BD＝＝＝；在Rt△ABD和Rt△BCD中，AD＝＝＝，CD＝＝＝，又∠ADC＝180°－∠ABC＝120°，所以△ACD的面积为S＝×××＝.故选C.] 3．已知在Rt△ABC中，C＝90°，A＝30°，BC＝1，点D，E分别为线段AC，AB上的动点，若S△ADE＝S△ABC，则DE的最小值为(　　) A.－1 B. C．2－ D．4－2 解析：A　[在Rt△ABC中，A＝30°，BC＝1，则有AB＝2，AC＝，设AE＝x，(0<x≤2)，∵ S△ADE＝S△ABC，∴ AD·x·sin30°＝×××1，∴AD＝，∴DE＝≥＝－1，(当且仅当x＝时取等号)，则DE的最小值为－1.故选A.] 4．(多选)已知△ABC中，AB＝1，AC＝4，BC＝，D在BC上，AD为∠BAC的角平分线，E为AC中点，下列结论正确的是(　　) A．△ABC的面积为　　 B．BE＝ C．sin∠ACB＝ D．AD＝ 解析：ABD　[在△ABC中，由余弦定理得 cos∠BAC＝＝，因为∠BAC∈，所以∠BAC＝.所以S△ABC＝AB·ACsin∠BAC＝，故A正确； 在△ABE中，BE2＝AE2＋AB2－2AE·ABcos∠BAE＝3，所以BE＝，故B正确； 在△ABC中，cos∠ACB＝＝＝， 又∠ACB∈(0，π)，故sin∠ACB>0，sin∠ACB＝＝，故C错误； 因为AD为∠BAC的角平分线，由等面积法得S△ABC＝S△ABD＋S△ACD＝AB·ADsin＋AC·ADsin，整理得＝AD，解得AD＝，故D正确；故选ABD.] 5．(多选)已知Rt△ABC的斜边长为2.则下列关于△ABC的说法中，错误的是(　　) A．周长的最大值为2＋2 B．周长的最小值为2＋2 C．面积的最大值为2 D．面积的最小值为1 解析：BCD　[由勾股定理，得出三边关系，根据基本不等式求周长和面积最值． 由题知，设斜边为c，则c＝2，a2＋b2＝4.先研究面积：S＝ab≤·＝1，当且仅当，即a＝b＝时取等号，所以面积的最大值是1.C、D选项都是错误的；再研究周长：a2＋b2＝4，2－2ab＝4，2－ 22≤4，2≤8，a＋b≤2，当且仅当，即a＝b＝时，取等号，所以a＋b的最大值为2，周长的最大值为2＋2，故B选项错误．综上，选BCD.] 6．如图，△ACD是等边三角形，△ABC是等腰三角形，∠ACB＝90°，BD交AC于 E，AB＝2，则AE＝________. 解析：由题意可得AC＝BC＝AD＝CD＝AB＝，∠BCD＝150°，则∠CBD＝∠CDB＝15°，所以∠BEC＝75°，∠ABE＝30°，所以∠AEB＝105°，sin105°＝sin＝，在△ABE中，由＝，得AE＝＝＝－. 答案：－ 7．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，∠ABC＝120°，∠ABC的平分线交AC于点D，且BD＝1，则a，c满足的方程关系为________；a＋4c的最小值为________． 解析：(1)∵S△ABC＝S△ABD＋S△CBD， 则acsin∠ABC＝c×BDsin∠ABD＋a×BDsin∠CBD 即ac×＝c×1×＋a×1×，整理得a＋c＝ac (2)∵a＋c＝ac，则＋＝1 a＋4c＝＝＋＋5≥ 2＋5＝9，当且仅当＝时等号成立，∴a＋4c的最小值为9. 答案：a＋c＝ac　9 8．已知△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若asin＝bsin，且△ABC内切圆面积为4π，则△ABC周长的最小值是________． 解析：∵asin＝bsin， ∴bsin＝asin，即bcos＝asin B，由正弦定理可得sin Bcos＝si