第十章 第七节 随机变量及其分布列、数字特征-【创新教程】2024高考数学总复习大一轮课时作业word（新教材，人教A版）

第七节　随机变量及其分布列、数字特征 [基础巩固练] 1．一串钥匙有6枚，只有一枚能打开锁，依次试验，打不开的扔掉，直到找到能开锁的钥匙为止，则试验次数X的最大可能取值为(　　 ) A．6　　　B．5　　　　C．4　　　　D．2 解析：B　[由于是逐次试验，可能最后一枚钥匙才能打开锁，即前5次都打不开锁，所以试验次数X的最大可能取值为5.] 2．已知随机变量的分布列如下，且E(ξ)＝6.3，则a的值为(　　 ) ξ 4 a 9 P 0.5 0.1 b A.5 B．6 C．7 D．8 解析：C　[由概率分布列性质，知0.5＋0.1＋b＝1，所以b＝0.4，所以E(ξ)＝4×0.5＋a×0.1＋9×0.4＝6.3，所以a＝7.] 3．X是离散型随机变量，E(X)＝6，D(X)＝0.5，X1＝2X－5，那么E(X1)和D(X1)分别是(　　 ) A．E(X1)＝12，D(X1)＝1 B．E(X1)＝7，D(X1)＝1 C．E(X1)＝12，D(X1)＝2 D．E(X1)＝7，D(X1)＝2 解析：D　[由期望和方差的运算性质知，E(X1)＝E(2X－5)＝2E(X)－5＝7，D(X1)＝D(2X－5)＝22D(X)＝2.故选D.] 4．(2023·沈阳模拟)设离散型随机变量X可能的取值为1,2,3,4，P(X＝k)＝ak＋b，若X的均值为E(X)＝3，则a－b等于(　　 ) A. B．0 C．－ D. 解析：A　[由题意知(a＋b)＋(2a＋b)＋(3a＋b)＋(4a＋b)＝1，即10a＋4b＝1，又X的均值E(X)＝3，则(a＋b)＋2(2a＋b)＋3(3a＋b)＋4(4a＋b)＝3，即30a＋10b＝3，∴a＝，b＝0， ∴a－b＝.] 5．(多选)袋内有大小完全相同的2个黑球和3个白球，从中不放回地每次任取1个小球，直至取到白球后停止取球，则(　　 ) A．抽取2次后停止取球的概率为 B．停止取球时，取出的白球个数不少于黑球的概率为 C．取球次数的期望为2 D．取球次数的方差为 解析：BD　[设取球次数为ξ，可知随机变量ξ的可能取值有1,2,3，则P(ξ＝1)＝，P(ξ＝2)＝×＝，P(ξ＝3)＝×＝. 对于A选项，抽取2次后停止取球的概率为P(ξ＝2)＝，A选项错误；对于B选项，停止取球时，取出的白球个数不少于黑球的概率为P(ξ＝1)＋P(ξ＝2)＝＋＝，B选项正确；对于C选项，取球次数ξ的期望为E(ξ)＝1×＋2×＋3×＝，C选项错误；对于D选项，取球次数ξ的方差为D(ξ)＝2×＋2×＋2×＝，D选项正确．故选BD.] 6．已知离散型随机变量X的分布列为 X 0 1 2 P 0.5 1－2q q2 则常数q＝________. 解析：由分布列的性质得0.5＋1－2q＋q2＝1，解得q＝1－或q＝1＋(舍去)． 答案：1－ 7．已知随机变量ξ的分布列为 ξ 1 2 3 P 0.5 x y 若E(ξ)＝，则D(ξ)＝________. 解析：由分布列性质，得x＋y＝0.5.又E(ξ)＝，得2x＋3y＝，可得 D(ξ)＝2×＋2×＋2×＝. 答案： 8．(2022·浙江高考)现有7张卡片，分别写上数字1,2,2,3,4,5,6.从这7张卡片中随机抽取3张，记所抽取卡片上数字的最小值为ξ，则P(ξ＝2)＝________，E(ξ)＝________. 解析：P(ξ＝2)＝＝. ξ的所有可能取值为1,2,3,4. P(ξ＝1)＝＝，P(ξ＝2)＝，P(ξ＝3)＝＝，P(ξ＝4)＝＝， 故E(ξ)＝1×＋2×＋3×＋4×＝. 答案：， 9．为加快检测效率，某检测机构采取“k合1检测法”，即将k个人的拭子样本合并检测，若为阴性，则可以确定所有样本都是阴性；若为阳性，则还需要对本组的每个人再做检测．现有100人，已知其中2人感染病毒． (1)①若采用“10合1检测法”，且两名患者在同一组，求总检测次数； ②已知10人分成一组，分10组，两名感染患者在同一组的概率为，定义随机变量X为总检测次数，求检测次数X的分布列和数学期望E(X)； (2)若采用“5合1检测法”，检测次数Y的期望为E(Y)，试比较E(X)和E(Y)的大小(直接写出结果)． 解析：(1)①对每组进行检测，需要10次；再对结果为阳性的组每个人进行检测，需要10次；所以总检测次数为20次； ②由题意，可以取20,30，P(X＝20)＝，P(X＝30)＝1－＝， 则X的分布列： X 20 30 P 所以E(X)＝20×＋30×＝； (2)由题意，Y可以取25,30，两名感染者在同一组的概率为P1＝＝，不在同一组的概率为P2＝，则E(Y)＝25×＋30×＝＞E