第十章 第八节 二项分布、超几何分布与正态分布-【创新教程】2024高考数学总复习大一轮课时作业word（新教材，人教A版）

第八节　二项分布、超几何分布与正态分布 [基础巩固练] 1．(2023·百校联盟开学考)在东京奥运会中，甲，乙、丙三名跳水运动员参加小组赛，已知甲晋级的概率为p(0＜p＜1)，乙、丙晋级的概率均为q(0＜q＜1)，且三人是否晋级相互对立． (1)若甲晋级的概率与乙、丙两人均没有晋级的概率相等，与乙、丙两人有且仅有一人晋级的概率也相等，求p，q； (2)若p＝，记三个人中晋级的人数为ξ，若ξ＝0时的概率和ξ＝3时的概率相等，求E(ξ)． 解析：(1)乙、丙两人均没有晋级的概率为(1－q)2，乙、丙两人有且仅有一人晋级的概率为Cq(1－q)， 故解得p＝，q＝， (2)ξ的所有可能取值为0,1,2,3. P(ξ＝0)＝(1－q)2，P(ξ＝3)＝q2， 由题知(1－q)2＝q2，解得q＝， 所以ξ～B， 所以E(ξ)＝3×＝. 2．(2023·许昌模拟) “双减”政策实施后，为了解某地中小学生周末体育锻炼的时间，某研究人员随机调查了600名学生，得到的数据统计如下表所示： 周末体育锻 炼时间t(min) [30,40) [40,50) [50,60) [60,70) [70,80) [80,90) 频率 0.1 0.2 0.3 0.15 0.15 0.1 (1)估计这600名学生周末体育锻炼时间的平均数；(同一组中的数据用该组区间的中点值作代表) (2)在这600人中，用分层抽样的方法，从周末体育锻炼时间在[40,60)内的学生中抽取15人，再从这15人中随机抽取3人，记这3人中周末体育锻炼时间在[50,60)内的人数为X，求X的分布列以及数学期望E(X)． 解析：(1)估计这600名学生周末体育锻炼时间的平均数＝35×0.1＋45×0.2＋55×0.3＋65×0.15＋75×0.15＋85×0.1＝58.5. (2)依题意，周末体育锻炼时间在[40,50)内的学生抽6人，在[50,60)内的学生抽9人， 则P(X＝0)＝＝，P(X＝1)＝＝，P(X＝2)＝＝，P(X＝3)＝＝， 故X的分布列为： X 0 1 2 3 P 则E(X)＝0×＋1×＋2×＋3×＝. 3．(2023·广州模拟)为监控某种零件的一条生产线的生产过程，检验员每天从该生产线上随机抽取10件零件，度量其内径尺寸(单位：μm )．根据长期生产经验，可以认为这条生产线正常状态下生产的零件的内径尺寸服从正态分布N(μ，σ2)． (1)假设生产状态正常，记X表示某一天内抽取的10个零件中其尺寸在(μ－3σ，μ＋3σ)之外的零件数，求P(X≥2)及X的数学期望； (2)某天正常工作的一条生产线数据记录的茎叶图如下图所示： ①计算这一天平均值μ与标准差σ； ②一家公司引进了一条这种生产线，为了检查这条生产线是否正常，用这条生产线试生产了5个零件，度量其内径分别为(单位：μm )：85,95,103,109,119，试问此条生产线是否需要进一步调试，为什么？ 参考数据：P(μ－2σ＜X＜μ＋2σ)＝0.954 4，P(μ－3σ＜X＜μ＋3σ)＝0.997 4,0.997 410≈0.974 3，0.997 44≈0.99,0.954 43≈0.87，0.026×0.997 49≈0.025 4,0.045 62≈0.002，≈5.933 0. 解析：(1)由题意知：P(X＝0或X＝1)＝C(1－0.997 4)0·0.997 410＋C(1－0.997 4)1·0.997 49＝0.974 3＋0.025 4＝0.999 7，P(X≥2)＝1－P(X＝0)－P(X＝1)＝1－0.999 7＝0.000 3， ∵X～B(10,0.002 6)，∴EX＝10×0.002 6＝0.026 0； (2)①μ＝＝104(μm) σ2＝＝36(μm)2，所以σ＝6 μm. ②结论：需要进一步调试． 理由如下：如果生产线正常工作，则X服从正态分布N(104,62)，P(μ－3σ＜X＜μ＋3σ)＝P(86＜X＜122)＝0.997 4，零件内径在(86,122)之外的概率只有0.002 6，而85∉(86,122)根据3σ原则，知生产线异常，需要进一步调试． [能力提升练] 4．(2023·湖北重点中学联考)为保障全民阅读权利，培养全民阅读习惯，提高全民阅读能力，推动文明城市和文化强市建设，某高校为了解全校学生的阅读情况，随机调查了200名学生的每周阅读时间x(单位：小时)并绘制如图所示的频率分布直方图： (1)求这200名学生每周阅读时间的样本平均数和样本方差s2(同一组的数据用该组区间中点值代表)； (2)由直方图可以看出，目前该校学生每周的阅读时间x大致服从正态分布N(μ，σ2)，其中μ近似为样本平均数，σ2近似为样本方差s2