第三章 强化课2 函数中的构造问题-【创新教程】2024高考数学总复习大一轮课时作业word（新教材，人教A版）

热点强化课2　函数中的构造问题 [基础巩固练] 1．(2023·鹰潭二模)设a＝ ，b＝(4－ln 2)，c＝，则a，b，c的大小关系是(　　 ) A．b＜c＜a　　　　 B．c＜b＜a C．b＜a＜c D．a＜b＜c 解析：A　[①先比较a，c：a＝＝，c＝，设函数f(x)＝，则f′(x)＝＜0，得函数f(x)在(0,2)上单调递减，f′(x)＝＞0得函数f(x)在(2，＋∞)上单调递增，所以f()＜f，即c＜a； ②再比较b，c：由①知fmin(x)＝f(2)＝＜f()＝c， 而b＝＝－，设h(x)＝，h′(x)＝， 当0＜x＜，h′(x)＞0，h(x)单调递增，当x＞，h′(x)＜0，h(x)单调递减， 所以b＝h＜hmax(x)＝h＝e，而e＜·e＝＜f()＝c，所以b＜c，故选A.] [点睛]　根据实数的特征构造函数，利用导数的性质是解题的关键． 2．(2023·南昌三模)已知a，x是不为1的正数，若不等式恒成立，则a的取值范围是(　　 ) A. B. C.∪(1，e) D. 解析：D　[∵＞0，∴ln x≥ln a，即aln a≤xln x恒成立； 令f(x)＝xln x，则f′(x)＝ln x＋1，∴当x∈时，f′(x)＜0；当x∈时， f′(x)＞0； ∴f(x)在上单调递减，在上单调递增，∴f(x)≥f＝－， ∴aln a≤－；令g(a)＝aln a， 则g′(a)＝ln a＋1， ∴当a∈时，g′(a)＜0；当a∈时，g′(a)＞0； ∴g(a)在上单调递减，在上单调递增，∴g(a)≥g＝－，即aln a≥－；综上所述：aln a＝－，∴a＝，即a的取值范围为.故选D.] [点睛]　本题考查利用导数研究恒成立问题，解题关键是能够通过左右同时取对数的方式，将问题转化为aln a≤xln x恒成立问题，进而将问题转化为函数最值的求解问题． 3．(2023·湘潭一模)已知定义域为R的函数f(x)的导函数为f′(x)，且f′(x)＞f(x)，若实数a＞0，则下列不等式恒成立的是(　　 ) A．af(ln a)≥ea－1f(a－1) B．af(ln a)≤ea－1f(a－1) C．ea－1f(ln a)≥af(a－1) D．ea－1f(ln a)≤af(a－1) 解析：D　[令g(x)＝，则g′(x)＝＞0，所以g(x)为增函数，令h(a)＝ln a－a＋1，h′(a)＝－1＝ 令h′(a)＞0，∴0＜a＜1；h′(a)＜0，∴a＞1 因此h(a)在(0,1)上单调递增，在(1，＋∞)上单调递减 因此h(a)max＝h(1)＝0 又当a＞0时，ln a≤a－1， 所以g(ln a)≤g(a－1)，即≤， 所以ea－1f(ln a)≤af(a－1)．故选D.] 4．(2023·苏州八校三模)若x，y∈(0，＋∞)，x＋ln x＝ey＋sin y，则(　　 ) A．ln(x－y)＜0 B．ln(y－x)＞0 C．x＜ey D．y＜ln x 解析：C　[设f(x)＝x－sin x，x＞0，则f′(x)＝1－cos x≥0(不恒为零)，故f(x)在(0，＋∞)上为增函数，故f(x)＞f(0)＝0，所以x＞sin x，故y＞sin y在(0，＋∞)上恒成立，所以x＋ln x＜ey＋y＝ey＋ln ey，但g(x)＝x＋ln x在(0，＋∞)上为增函数，故x＜ey即ln x＜y，所以C成立，D错误． 取x＝e，考虑1＋e＝ey＋sin y的解，若y≥e＋1，则ey≥ee＋1＞5＞e＋2≥1＋e－sin y，矛盾，故y＜e＋1即y－x＜1，此时ln(y－x)＜0，故B错误．取y＝1，考虑x＋ln x＝e＋sin 1，若x≤2，则x＋ln x≤2＋ln 2＜3＜e＋＜e＋sin 1，矛盾，故x＞2，此时x－y＞1，此时ln(x－y)＞0，故A错误，故选C.] [点睛]　多元方程隐含的不等式关系，往往需要把方程放缩为不等式，再根据函数的单调性来判断，注意利用同构来构建新函数． 5．(2023·广州三模)对于任意x＞0都有xx－axln x≥0，则a的取值范围为(　　 ) A．[0，e] B. C. ∪[e，＋∞) D．(－∞，e] 解析：B　[xx－axln x≥0⇒exln x－axln x≥0，令t＝f(x)＝xln x， 则f′(x)＝ln x＋1，所以f(x)在上单调递减，在上单调递增， 所以f(x)≥f＝ln＝－， 所以t＝f(x)≥－， 所以xx－axln x≥0转化为：et－at≥0，令g(t)＝et－at，g′(t)＝et－a， ①当a≤0时，g′(t)≥0，所以g(t)在上单调递增，所以 g(t)min＝g＝－a≥0⇒a≥－，所以－≤a≤0. ②当a＞0时，g′(t)＝0，所以t＝ln a， (ⅰ)当