第三章 第四节 第4课时 隐零点与极值点偏移问题-【创新教程】2024高考数学总复习大一轮课时作业word（新教材，人教A版）

第4课时　隐零点与极值点偏移问题 [基础巩固练] 1．(2023·长沙模拟)已知函数f(x)＝＋＋1. (1)求函数f(x)的单调区间； (2)若对任意x∈(0，＋∞)都有aex≥f(x)，求实数a的取值范围． 解：(1)函数f(x)的定义域是(0，＋∞)， 由已知f′(x)＝－＝－， 当0<x<1时，f′(x)>0，当x>1时，f′(x)<0，所以f(x)的单调递增区间为(0,1)，单调递减区间为(1，＋∞)． (2)因为对任意x∈(0，＋∞)都有aex≥f(x)，即a≥恒成立．令g(x)＝，则g′(x)＝.令h(x)＝x＋ln x，则h(x)在(0，＋∞)上单调递增，因为h＝－1<0，h(1)＝1>0，所以存在x0∈，使得h(x0)＝x0＋ln x0＝0，当x∈(0，x0)时，h(x)<0，g′(x)>0，g(x)单调递增；当x∈(x0，＋∞)时，h(x)>0，g′(x)<0，g(x)单调递减．所以g(x)max＝g(x0)＝， 由x0＋ln x0＝0，可得x0＝－ln x0. 则＝， 所以g(x)max＝g(x0)＝＝1， 又a≥恒成立，所以a≥1.综上所述，实数a的取值范围为[1，＋∞)． 2．(2023·济源、平顶山、许昌质检一)已知函数f(x)＝x－. (1)求f(x)的单调区间； (2)已知a，b∈R，且a≠b，若aea＋b＋bea＝aeb＋bea＋b，求证a＋b>0. 解析：(1)f′(x)＝，令g(x)＝ex＋x－1，则g′(x)＝ex＋1>0， ∴g(x)＝ex＋x－1在R上单调递增， 注意到g(0)＝0， ∴当x∈(－∞，0)时，g(x)<0，此时f′(x)<0，f(x)单调递减，当x∈(0，＋∞)时，g(x)>0，此时f′(x)>0，f(x)单调递增， ∴f(x)在(－∞，0)上单调递减，在(0，＋∞)上单调递增． (2)aea＋b＋bea＝aeb＋bea＋b等价于aea＋b－aeb＝bea＋b－bea， 等式两边同除以ea＋b得：＝， 即f(a)＝f(b)， 由(1)知：f(x)在(－∞，0)上单调递减，在(0，＋∞)上单调递增， ∴a，b一正一负，不妨设a<0<b， 构造新函数h(x)＝f(x)－f(－x)，则h(0)＝0， ∴h′(x)＝f′(x)＋f′(－x)＝＋＝ 令φ(x)＝(x＋1)ex＋x－1，则φ′(x)＝(x＋2)ex＋1. 当x>0时，显然φ′(x)>0恒成立，所以φ(x)>φ(0)＝0， 又1－ex<0对x∈(0，＋∞)恒成立， 所以在x∈(0，＋∞)时，h′(x)<0，即h(x)单调递减， h(x)<h(0)＝0， ∵b>0， ∴h(b)<0，即f(b)<f(－b)． ∵f(a)＝f(b)， ∴f(a)<f(－b)， 其中a<0，－b<0，且f(x)在(－∞，0)上单调递减， ∴a>－b，即a＋b>0. 3．(2023·湛江模拟)已知函数f(x)＝aex－2x，a∈R. (1)讨论函数f(x)的单调性； (2)当a＝1时，求证：f(x)＋x2－x＋1>0. 解析：(1)∵f′(x)＝aex－2， 若a≤0，则aex－2<0恒成立，f(x)单调递减． 若a>0，当aex－2<0，ex<， 即x<ln 时，f(x)单调递减； 当x>ln 时，f(x)单调递增． ∴当a≤0时，f(x)在R上单调递减； 当a>0时，f(x)在上单调递减， 在上单调递增． (2)证明：当a＝1时，f(x)＝ex－2x. 设g(x)＝f(x)＋x2－x＋1＝ex－2x＋x2－x＋1＝ex＋x2－x＋1，则g′(x)＝ex＋2x－，令h(x)＝g′(x)＝ex＋2x－，则h′(x)＝ex＋2>0，∴h(x)在R上单调递增，又h(0)<0，h(1)>0，∴存在唯一零点x0∈(0,1)，使h(x0)＝ex0＋2x0－＝0，① 当x∈(－∞，x0)时，h(x)<0，即g′(x)<0，g(x)单调递减，当x∈(x0，＋∞)时，h(x)>0，即g′(x)>0，g(x)单调递增，故g(x)在x＝x0处取得极小值，也是最小值． g(x)min＝g(x0)＝ex0＋x－x0＋1，将①式代入，则g(x)min＝g(x0)＝－2x0＋x－x0＋1＝x－x0＋，∵二次函数y＝x2－x＋在(0,1)上单调递减，∴当x＝1时，y有最小值ymin＝12－＋＝0，∴g(x)min>0，∴f(x)＋x2－x＋1>0. 4．(2023·百校联盟联考)已知函数f(x)＝xln x－mx2－x，m∈R. (1)若g(x)＝f′(x)(f′(x)为f(x)的导函数)，求函数g(x)在区间[1，e]上的最大值； (2)若函数f(x)有两个极值点x1，x2，求证：x1x2>e2. 解：(1)因为g(x)＝ln x－mx，g′(x)＝，①当m≤0时