第三章 第四节 第3课时 利用导数研究函数的零点-【创新教程】2024高考数学总复习大一轮课时作业word（新教材，人教A版）

第3课时　利用导数研究函数的零点 [基础巩固练] 1．(2023·深圳市一模)已知三次函数f(x)＝x3＋bx2＋cx＋d(a，b，c∈R)过点(3,0)，且函数f(x)在点(0，f(0))处的切线恰好是直线y＝0. (1)求函数f(x)的解析式； (2)设函数g(x)＝9x＋m－1，若函数y＝f(x)－g(x)在区间[－2,1]上有两个零点，求实数m的取值范围． 解：(1)f′(x)＝3x2＋2bx＋c， 由已知条件得， 解得b＝－3，c＝d＝0； ∴f(x)＝x3－3x2. (2)由y＝f(x)－g(x)＝0在[－2,1]上有两个不同的解， 得x3－3x2－9x－m＋1＝0在区间[－2,1]有两个不同的解． 即m＝x3－3x2－9x＋1在[－2,1]上有两个不同解． 令h(x)＝x3－3x2－9x＋1，h′(x)＝3x2－6x－9， x∈[－2,1]， 令3x2－6x－9＞0，得－2≤x＜－1；令3x2－6x－9＜0，得－1＜x≤1； ∴h(x)max＝h(－1)＝6，又f(－2)＝－1，f(1)＝－10， ∴h(x)min＝－10； ∵m＝h(x)在区间[－2,1]上有两个不同的解， ∴－1≤m＜6.∴实数m的取值范围是[－1,6)． 2．(2023·广州一模)已知函数f(x)＝ex＋sin x－cos x，f′(x)为f(x)的导数． (1)证明：当x≥0时，f′(x)≥2； (2)设g(x)＝f(x)－2x－1，证明：g(x)有且仅有2个零点． 解析：(1)由f′(x)＝ex＋cos x＋sin x，设h(x)＝ex＋cos x＋sin x，则h′(x)＝ex－sin x＋cos x， 当x≥0时，设p(x)＝ex－x－1，q(x)＝x－sin x， ∵p′(x)＝ex－1≥0，q′(x)＝1－cos x≥0， ∴p(x)和q(x)在[0，＋∞)上单调递增， ∴p(x)≥p(0)＝0，q(x)≥q(0)＝0， ∴当x≥0时，ex≥x＋1，x≥sin x，则h′(x)＝ex－sin x＋cos x≥x＋1－sin x＋cos x＝(x－sin x)＋(1＋cos x)≥0， ∴函数h(x)＝ex＋cos x＋sin x在[0，＋∞)上单调递增，∴h(x)≥h(0)＝2，即当x≥0时， f′(x)≥2； (2)由已知得g(x)＝ex＋sin x－cos x－2x－1， ①当x≥0时， ∵g′(x)＝ex＋cos x＋sin x－2＝f′(x)－2≥0，∴g(x)在[0，＋∞)上单调递增，又∵g(0)＝－1＜0，g(π)＝eπ－2π＞0，∴由零点存在性定理可知g(x)在[0，＋∞)上仅有一个零点， ②当x＜0时，设m(x)＝(x＜0)，则m′(x)＝≤0，∴m(x)在(－∞，0)上单调递减，∴m(x)＞m(0)＝1，∴ex＋cos x＋sin x－2＜0，∴g′(x)＝ex＋cos x＋sin x－2＜0，∴g(x)在(－∞，0)上单调递减， 又∵g(0)＝－1＜0，g(－π)＝e－π＋2π＞0，∴由零点存在性定理可知g(x)在(－∞，0)上仅有一个零点，综上所述，g(x)有且仅有2个零点． 3．(2023·八省八校联考二)已知函数f(x)＝(x2－ax)ln x＋x(a∈R，a＞0)． (1)若1是函数f(x)的极值点，求a的值； (2)若0＜a≤1，试问f(x)是否存在零点．若存在，请求出该零点；若不存在，请说明理由． (3)若f(x)有两个零点，求满足题意的a的最小整数值．(参考数据：ln 2≈0.693，≈1.649) 解析：(1)因为函数f(x)＝(x2－ax)ln x＋x(a∈R，a＞0)，所以f′(x)＝(2x－a)ln x＋(x2－ax)·＋1＝(2x－a)ln x＋x－a＋1，因为1是函数f(x)的极值点，所以f′(1)＝(2－a)ln 1＋1－a＋1＝0，解得a＝2，经检验符合题意； (2)当a＝1时，f(x)＝(x2－x)ln x＋x＝x[(x－1)ln x＋1](x＞0)，令h(x)＝(x－1)ln x＋1，则h′(x)＝ln x＋(x－1)·＝，h′(1)＝1－a＝0，因为h″(x)＝＋＞0，则h′(x)在(0，＋∞)上递增， 所以当x∈(0,1)时，h′(x)＜0，当x∈(1，＋∞)时，h′(x)＞0，所以h(x)≥h(1)＝1＞0，则h(x)无零点，即f(x)无零点； 当0＜a＜1，f(x)＝(x2－ax)ln x＋x＝x[(x－a)ln x＋1](x＞0)， 令h(x)＝(x－a)ln x＋1，则h′(x)＝ln x＋(x－a)·＝，h′(1)＝1－a＞0， h′＝－ae＜0， 因为h″(x)＝＋＞0，则h′(x)在(0，＋∞)上递增，所以存在x0∈有h′(x0)＝ln x0＋(x0－