第三章 第四节 第2课时 利用导数研究恒(能)成立问题-【创新教程】2024高考数学总复习大一轮课时作业word（新教材，人教A版）

第2课时　利用导数研究恒(能)成立问题 [基础巩固练] 1．(2023·广东2月联考)已知函数f(x)＝ex－ax2－x－1. (1)当a＝1时，求曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线的方程； (2)若f(x)≥0，求实数a的取值范围． 解析：(1)因为f(x)＝ex－x2－x－1， 所以f′(x)＝ex－2x－1，所以f′(1)＝e－3. 当x＝1时，切点为(1，e－3)，所以所求切线方程为y＝(e－3)x. (2)f(x)＝0等价于ex＝ax2＋x＋1恒成立． 当a＞0时，上式不恒成立，证明如下： 当x＜0时，ex＜1，当x＜－时，ax2＋x＋1＝x(ax＋1)＋1＞1，从而ex≥ax2＋x＋1不恒成立． 当a≤0时，ax2＋x＋1≤x＋1，下面先证明ex≥x＋1. 令h(x)＝ex－x－1，则h′(x)＝ex－1. 当x＜0时，h′(x)＜0，h(x)单调递减；当x＞0时，h′(x)＞0，h(x)单调递增． 所以h(x)min＝h(0)＝0，即h(x)≥0， 所以ex≥x＋1，而ax2＋x＋1≤x＋1，故ex≥ax2＋x＋1. 综上，若f(x)≥0，则实数a的取值范围为 (－∞，0]． 2．(2023·南阳模拟)已知函数f(x)＝xln x＋ex(ln x－x)＋1. (1)求曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线方程； (2)若对∀x∈(0，＋∞)，f(x)≤aex恒成立，求实数a的取值范围． 解析：(1)由f′(x)＝ln x＋1＋ ex，有f(1)＝1－e，f′(1)＝1－e， 故曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线方程为y－(1－e)＝(1－e)(x－1)， 整理为(e－1)x＋y＝0. (2)不等式f(x)≤aex可化为a≥＋ ln x－x， 令g(x)＝＋ln x－x，函数g(x)的定义域为(0，＋∞)， 则g′(x)＝＋－1＝＋＝. 令h(x)＝xln x，则h′(x)＝ln x＋1，令h′(x)>0， 得x>，h′(x)<0，得0<x<，所以函数h(x)的增区间为，减区间为，所以对∀x∈(0，＋∞)，h(x)≥h＝ln ＝－. 又当(0，＋∞)时，ex>1，故有ex＋xln x>1－>0. 所以g′(x)>0，有0<x<1，g′(x)<0，有x>1，所以函数g(x)的增区间为(0,1)，减区间为(1，＋∞)，所以g(x)max＝g(1)＝－1， 所以实数a的取值范围为. 3．(2023·济宁一模)已知函数f(x)＝ax2－xln x＋(a∈R且a≠0)． (1)当a＝1时，求曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线方程； (2)若不等式f(x)≤0对任意x∈(0，＋∞)恒成立，求实数a的取值范围． 解析：(1)当a＝1时，f(x)＝x2－xln x＋2， f(1)＝3， 所以f′(x)＝2x－(ln x＋1)＝2x－ln x－1， f′(1)＝1， 所以曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线方程为y－3＝x－1，即x－y＋2＝0. (2)因为f′(x)＝2ax－(ln x＋1)＝2ax－ln x－1，f″(x)＝2a－＝ ①当a＞0时，f(1)＝a＋＞0与f(x)≤0恒成立矛盾，不合题意． ②当a＜0时，f″(x)＜0，f′(x)在(0，＋∞)上单调递减． 因为f′(e－1)＝2ae－1＜0，f′(e2a－1)＝2a(e2a－1－1)＞0， 所以∃x0∈(e2a－1，e－1)，使得f′(x0)＝2ax0－ln x0－1＝0，即a＝. 所以，当x∈(0，x0)时，f′(x)＞0，f(x)单调递增； 当x∈(x0，＋∞)时，f′(x)＜0，f(x)单调递减． 所以f(x)max＝ax－x0ln x0＋＝×x－x0ln x0＋＝≤0. 因为x0∈(e2a－1，e－1)，所以ln x0＋1＜0. 所以9－(ln x0)2≥0，即－3≤ln x0＜－1，解得e－3≤x0≤e－1. 因为a＝，所以设g(x)＝，x∈[e－3，e－1)． 则g′(x)＝＞0，所以g(x)在[e－3，e－1)上单调递增． 所以g(e－3)≤g(x)＜g(e－1)，即－e3≤g(x)＜0.所以－e3≤a＜0. 4．(2023·东三省三校一模)已知函数f(x)＝ex－k2ln x(其中e是自然对数的底数)． (1)当k＝1时，证明：f(x)＞2； (2)(ⅰ)当x∈[1，＋∞)时，f(x)＞kx恒成立，求正整数k的取值集合； (ⅱ)证明：en＋1－ln(n！)＞(n∈N*)．参考数据：ln 2≈0.6931，ln 3≈1.0986，ln 5≈1.6094. 解析：(1)设φ(x)＝ex－x－1，则φ′(x)＝ex－1，当x＞0时，φ′(x)＞0；当x＜0时，φ′(x)＜0，∴φ(x)在(－∞，0)上单调递减