第三章 第四节 第1课时 利用导数证明不等式-【创新教程】2024高考数学总复习大一轮课时作业word（新教材，人教A版）

第四节　导数中的综合问题(教师专享) 第1课时　利用导数证明不等式 [基础巩固练] 1．(2023·贵阳适应性考试一)已知函数f(x)＝＋x－2(e是自然对数的底)． (1)求f(x)的单调区间； (2)若f(x1)＝f(x2)，求证：x1＋x2≥0. 解析：(1)因为f′(x)＝－e－x＋1＝e－x(ex－1)，所以x∈(0，＋∞)时，f′(x)＞0，f(x)单调递增；x∈(－∞，0)时，f′(x)＜0，f(x)单调递减． 所以f(x)的单调增区间是(0，＋∞)，单调减区间是(－∞，0)． (2)因为f(x1)＝f(x2)，结合(1)中函数的单调性，不妨设x1＜0＜x2，则－x1＞0，令g(x)＝f(x)－f(－x)＝＋x－2－(ex－x－2)＝e－x－ex＋2x，g′(x)＝－e－x－ex＋2＝－e－x(ex－1)2≤0，所以g(x)是R上的减函数．所以g(x1)＝f(x1)－f(－x1)≥g(0)＝0，f(x2)＝f(x1)≥f(－x1)，因为f(x)在(0，＋∞)上单调递增，所以x2≥－x1⇒x1＋x2≥0. 2．已知函数f(x)＝1－，g(x)＝x－ln x. (1)证明：g(x)≥1； (2)证明：(x－ln x)f(x)>1－. 证明：(1)由题意得g′(x)＝(x>0)． 当0<x<1时，g′(x)<0；当x>1时，g′(x)>0，即g(x)在(0,1)上是减函数，在(1，＋∞)上是增函数．所以g(x)≥g(1)＝1. (2)由f(x)＝1－，得f′(x)＝，所以当0<x<2时，f′(x)<0，当x>2时，f′(x)>0，即f(x)在(0,2)上是减函数，在(2，＋∞)上是增函数，所以f(x)≥f(2)＝1－(当且仅当x＝2时，等号成立)．① 又由(1)知x－ln x≥1(当且仅当x＝1时，等号成立)，② 且①②等号不能同时取到， 所以(x－ln x)f(x)>1－. 3．(2023·泰州一调)已知函数f(x)＝＋ln x. (1)讨论f(x)的单调性； (2)若f(x1)＝f(x2)＝2(x1≠x2)，证明：a2<x1x2<ae. 解：(1)函数f(x)＝＋ln x的定义域为(0，＋∞)，求导得f′(x)＝， 当a≤0时，f′(x)>0恒成立，则f(x)在(0，＋∞)上单调递增， 当a>0时，f′(x)<0的解集为(0，a)，f′(x)>0的解集为(a，＋∞)， 此时f(x)的单调增区间为(a，＋∞)，单调减区间为(0，a)， 所以当a≤0时，f(x)在(0，＋∞)上单调递增， 当a>0时，f(x)在(a，＋∞)上单调递增，在(0，a)上单调递减． (2)因为f(x1)＝f(x2)＝2(x1≠x2)，由(1)知，a>0，且f(x)min＝f(a)＝ln a＋1<2，解得a∈(0，e)， 设x1<x2，则0<x1<a<x2，要证x1x2>a2， 即证x2>>a，即证f(x2)>f， 即证f(x1)>f，设g(x)＝f(x)－f＝2ln x＋－－2ln a，x∈(0，a)， 则g′(x)＝－－＝<0，即 g(x)在(0，a)上单调递减，有g(x)>g(a)＝0， 即f(x)>f(x∈(0，a))，则f(x1)>f成立，因此x1x2>a2成立， 要证x1x2<ae，即证a<x2<，即证f(x2)<f，即证f(x1)<，即证2<－ln x1＋ln a＋1，x1∈(0，a)， 而＋ln x1＝2⇔a＝x1(2－ln x1)，即证1<＋ln(2－ln x1)，x1∈(0，a)， 令h(x)＝＋ln(2－ln x)，x∈(0，e)，则h′(x)＝－＋， 设φ(x)＝x(2－ln x)，x∈(0，e)，求导得φ′(x)＝1－ln x>0，即φ(x)在(0，e)上单调递增， 则有0<φ(x)<φ(e)＝e，即h′(x)<0，h(x)在(0，e)上单调递减，而(0，a)⊆(0，e)，当x∈(0，a)时， h(x)>h(a)>h(e)＝1，则当x∈(0，a)时，1<＋ln(2－ln x)成立，故有x1x2<ae成立， 所以a2<x1x2<ae. [点睛]　函数不等式证明问题，将所证不等式造价转化，构造新函数，再借助函数的单调性、极(最)值问题处理． 4．(2022·新高考Ⅱ卷)已知函数f(x)＝xeax－ex. (1)当a＝1时，讨论f(x)的单调性； (2)当x>0时，f(x)<－1，求a的取值范围； (3)设n∈N*，证明：＋＋…＋>ln(n＋1)． 解析：(1)a＝1⇒f(x)＝xex－ex＝(x－1)ex⇒f′(x)＝xex 当x∈(－∞，0)时，f′(x)<0，f(x)单调递减； 当x∈(0，＋∞)时，f′(x)>0，f(x)单调递增． (2)令g(x)＝f(x)＋1＝xeax－ex＋1(x≥0) ⇒g(x)≤g(0