第二章 第三节 函数的奇偶性、周期性-【创新教程】2024高考数学总复习大一轮课时作业word（新教材，人教A版）

第三节　函数的奇偶性、周期性 [基础巩固练] 1．(2023·深圳六校联考一)若定义在R上的函数f(x)不是偶函数，则下列命题正确的是(　　) A．∀x∈R，f(x)＋f(－x)＝0 B．∃x∈R，f(x)＋f(－x)＝0 C．∃x∈R，f(x)≠f(－x) D．∀x∈R，f(x)≠f(－x) 解析：C　[A错，f(x)＋f(－x)＝0，函数为奇函数，如f(x)＝x3＋x2，f(1)＋f(－1)≠0；B错，若f(x)＝，它不是偶函数，不存在x∈R，使得f(x)＋f(－x)＝0；C正确，如果不存在x∈R，使得f(x)≠f(－x)，说明对任意x∈R，f(x)＝f(－x)，函数为偶函数，不可能，因此C正确；D错，如f(x)＝x3＋x2，它不是偶函数，但存在x＝0使得f(0)＝f(－0)．故选C.] 2．已知f(x)＝x5＋ax3＋bx，且f(－2)＝10，则f(2)＝(　　) A．－26　B．－18　　C．－10　　D．10 解析：C　[f(x)＝x5＋ax3＋bx的定义域为R，且f(－x)＝(－x)5＋a(－x)3＋b(－x)＝－＝－f(x)，所以f(x)为奇函数，由f(－2)＝10，则f(2)＝－f(－2)＝－10.故选C.] 3．(2023·潍坊模拟)已知函数f(x)的定义域为R，则“f(x)是偶函数”是“是偶函数”的(　　) A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分又不必要条件 解析：A　[偶函数的图象关于y轴对称，奇函数图象关于原点对称，根据这一特征，若f(x)是偶函数，则是偶函数，若f(x)是奇函数，也是偶函数，所以“f(x)是偶函数”是“是偶函数”的充分不必要条件，故选A.] 4．已知a>0，设函数f(x)＝x5＋2x＋b，x∈，b∈Z，若f(x)的最大值为M，最小值为m，那么M和m的值可能为(　　) A．4与3 B．3与2 C．4与2 D．7与4 解析：C　[令g(x)＝x5＋2x，g(－x)＝－x5－2x，∴－g(x)＝g(－x)，∴g(x)为奇函数，设g(x)的最大值为t，最小值为－t，∴M＝b＋t，m＝b－t，可得M＋m＝2b，∵b∈Z，∴2b为偶数，故选C.] 5．(多选)(2023·济南模拟)济南大明湖的湖边设有如图所示的护栏，柱与柱之间是一条均匀悬链．数学中把这种两端固定的一条(粗细与质量分布)均匀、柔软的链条，在重力的作用下所具有的曲线形状称为怠链线．如果建立适当的平面直角坐标系，那么悬链线可以表示为函数f(x)＝，其中a>0，则下列关于悬链线函数f(x)的性质判断正确的是(　　) A．f(x)为偶函数 B．f(x)为奇函数 C．f(x)的单调递减区间为(－∞，0) D．f(x)的最大值是a 解析：AC　[∵f(－x)＝＝f(x)，则f(x)为偶函数，A正确，B错误；又∵f′(x)＝在R上单调递增，且f′(0)＝0，则当x>0时，则f′(x)>0，当x<0时，则f′(x)<0，∴f(x)的单调递减区间为(－∞，0)，单调递增区间为(0，＋∞)，C正确；则f(x)≥f(0)＝a，即f(x)的最小值为a，D错误；故选AC.] 6．(多选)(2023·大连质检)若定义在R上的减函数y＝f(x－2)的图象关于点(2,0)对称，且g(x)＝f(x)＋1，则下列结论一定成立的是(　　) A．g(2)＝1 B．g(0)＝1 C．不等式f(x＋1)>f(1－2x)的解集为(－∞，0) D．g(－1)＋g(2)<2 解析：BCD　[∵定义在R上的减函数y＝f(x－2)的图象关于点(2,0)对称，将y＝f(x－2)的图象向左平移两个单位即可得到函数y＝f(x)的图象，∴函数y＝f(x)的图象关于点(0,0)对称，即f(x)为奇函数，∴f(0)＝0，∵g(x)＝f(x)＋1，∴g(0)＝f(0)＋1，∴g(0)＝1，故B选项正确；∵y＝f(x－2)为减函数，∴f(x)为减函数，∴g(x)＝f(x)＋1为减函数，又g(0)＝1，则g(2)≠1，故A选项错误；∵f(x＋1)>f(1－2x)，且f(x)为减函数，∴x＋1<1－2x，解得x<0，故C选项正确；g(－1)＋g(2)＝f(－1)＋f(2)＋2＝－f(1)＋f(2)＋2，∵f(1)>f(2)，∴g(－1)＋g(2)<2，故D选项正确．故选BCD.] 7．写出一个同时满足下列两个条件的非常数函数为________． ①当x1x2≥0时，f(x1＋x2)＝f(x1)f(x2)； ②f(x)为偶函数． 解析：根据题意，若满足①当x1x2≥0时，f(x1＋x2)＝f(x1)f(x2)，常见函数为指数函数y＝ax，结合②的要求，可以考虑在y＝ax中，将x加绝对值即可，故f(x)＝3|x|符合题意． 答案：f(x)＝3|x|(答案不唯一) 8．(20