第9章 核心素养系列(六) 概率与统计高考中档大题的规范答题策略-【创新教程】2024高考数学总复习大一轮教师用书word（新教材，人教B版）

(六)　概率与统计高考中档大题的规范答题策略 1．概率与统计是高考中相对独立的一块内容，处理问题的方式、方法体现了较高的思维含量．该类问题以应用题为载体，注重考查学生的应用意识及阅读理解能力、分类讨论与化归转化能力． 2．概率问题的核心是概率计算，其中事件的互斥、对立、独立是概率计算的核心．统计问题的核心是样本数据的获得及分析方法，重点是频率分布直方图、茎叶图和样本的数字特征．统计与概率内容相互渗透，背景新颖． [热点1]　回归分析与独立性检验　 [例1]　(2023·济南二模)某公司为确定下一年度投入某种产品的宣传费，需了解年宣传费x(单位：千元)对年销售量y(单位：t)和年利润z(单位：千元)的影响．对近8年的年宣传费xi和年销售量yi(i＝1,2，…，8)数据作了初步处理，得到下面的散点图及一些统计量的值． x y ω (xi－x)2 (ωi－w)2 (xi－x)(yi－y) (ωi－w)(yi－y) 46.6 563 6.8 289.8 1.6 1 469 108.8 表中ωi＝，＝ωi. (1)根据散点图判断，y＝a＋bx与y＝c＋d哪一个适宜作为年销售量y关于年宣传费x的回归方程类型？(给出判断即可，不必说明理由) (2)根据(1)的判断结果及表中数据，建立y关于x的回归方程； (3)已知这种产品的年利润z与x，y的关系为z＝0.2y－x.根据(2)的结果回答下列问题： ①年宣传费x＝49时，年销售量及年利润的预报值是多少？ ②年宣传费x为何值时，年利润的预报值最大？ 附：对于一组数据(u1，v1)，(u2，v2)，…，(un，vn)，其回归直线v＝α＋βu的斜率和截距的最小二乘估计分别为＝，＝－. ◆[学审题]　求解第(1)问时，利用散点图结合学过的函数图像直接判断即可．求解第(2)问时，根据题目提供的数据及公式求出相关量，就可写出回归方程．求解第(3)问中的第一小问时，把x＝49直接代入回归方程求解出y的预报值，再代入年利润z与x，y的关系式求解即可；求解第二小问时，把y与x的关系式代入年利润z与x，y的关系式，将z转化为关于的二次函数求最值即可． [解]　(1)由散点图可以判断，y＝c＋d适宜作为年销售量y关于年宣传费x的回归方程类型． (2)令ω＝，先建立y关于ω的线性回归方程．由于 ＝＝＝68， ＝－＝563－68×6.8＝100.6， 所以y关于ω的线性回归方程为＝100.6＋68ω，因此y关于x的回归方程为＝100.6＋68. (3)①由(2)知，当x＝49时，年销售量y的预报值 ＝100.6＋68＝576.6， 年利润z的预报值 ＝576.6×0.2－49＝66.32. ②根据(2)的结果知，年利润z的预报值 ＝0.2(100.6＋68)－x＝－x＋13.6＋20.12. 所以当＝＝6.8，即x＝46.24时，取得最大值． 故年宣传费为46.24千元时，年利润的预报值最大． ◆[通技法] 利用回归方程可以进行预测和估计总体，回归方程将部分观测值所反映的规律进行延伸，是我们对有线性相关关系的两个变量进行分析和控制、依据自变量的取值估计和预报因变量值的基础和依据．解决此类问题的步骤为：(1)将表中的各对数据在平面直角坐标系中描点，得到散点图；(2)按求回归方程的步骤和公式，写出回归方程；(3)利用回归方程进行分析，分析中注意函数思想的应用． 1．(2023·保定市模拟)中央政府为了应对因人口老龄化而造成的劳动力短缺问题，拟定出台“延迟退休年龄政策”．为了了解人们对“延迟退休年龄政策”的态度，责成人社部进行调研．人社部从网上年龄在15～65的人群中随机调查100人，调查数据的频率分布直方图和支持“延迟退休”的人数与年龄的统计结果如下： 年龄 [15,25) [25,35) [35,45) [45,55) [55,65] 支持“延迟退休”的人数 15 5 15 28 17 (1)由以上统计数据填写2×2列联表，并判断是否有95%的把握认为以45岁为分界点的不同人群对“延迟退休年龄政策”的支持度有差异； 45岁以下 45岁及45岁以上 合计 支持 不支持 合计 (2)若以45岁为分界点，从不支持“延迟退休年龄政策”的人中按分层抽样的方法抽取8人参加某项活动．现从这8人中随机抽2人，求至少有1人是45岁及45岁以上的概率． 参考数据： P(χ2≥k0) 0.100 0.050 0.010 0.001 k0 2.706 3.841 6.635 10.828 χ2＝. 解：(1)2×2列联表如下： 45岁以下 45岁及 45岁以上 合计 支持 35 45 80