第9章 第10节 正态分布-【创新教程】2024高考数学总复习大一轮教师用书word（新教材，人教B版）

第10节　正态分布 最新课程标准 教师专享 核心素养 考情聚焦 1.通过误差模型，了解服从正态分布的随机变量． 2．通过具体实例，借助频率分布直方图的几何直观，了解正态分布的特征． 3．了解正态分布的均值、方差及其含义 1.在理解正态分布概念过程中，提升数学抽象的学科素养． 2．利用求解正态分布问题过程中，增强逻辑推理、数学运算和数学建模的核心素养 　　高考对正态分布及应用的考查越来越重视，题型由原来的单一的客观题逐步发展为解答题，常常与统计图表、概率、二项分布等知识融合在一起进行考查，难度中档偏上 [必备知识] 一．正态曲线及其性质 1．正态曲线的定义 一般地，函数φμ，σ(x)＝e－对应的图像称为正态曲线，其中μ＝　E(X)　，σ＝　　. 2．正态曲线的性质 (1)正态曲线关于　x＝μ　对称(即　μ　决定正态曲线对称轴的位置)，具有中间　高　、两边　低　的特点； (2)正态曲线与x轴所围成的图形面积为　1　； (3)　σ　决定正态曲线的“胖瘦”：σ越　大　，说明标准差越　大　，数据的集中程度越　弱　，所以曲线越“　胖　”；σ越　小　，说明标准差越　小　，数据的集中程度越　强　，所以曲线越“　瘦　”． 二．正态分布 1．一般地，如果随机变量X落在区间[a，b]内的概率，总是等于φμ，σ(x)对应的正态曲线与x轴在区间[a，b]内围成的　面积　，则称X服从参数为μ与σ的正态分布，记作X～　N(μ，σ2)　，此时　φμ，σ(x)　称为X的概率密度函数． 2．正态分布在三个特殊区间内取值的概率值 P(μ－σ≤X≤μ＋σ)≈　68.3%　. P(μ－2σ≤X≤μ＋2σ)≈　95.4%　. P(μ－3σ≤X≤μ＋3σ)≈　99.7%　. 三、标准正态分布 1．定义：μ＝　0　且σ＝　1　的分布称为标准正态分布，记作X～　N(0,1)　. 2．概率计算方法： 如果X～N(0,1)，那么对于任意a，通常记Φ(a)＝　P(x＜a)　，其中Φ(a)表示N(0,1)对应的正态曲线与x轴在区间(－∞，a)内所围的面积．特别地，Φ(－a)＋Φ(a)＝　1　. X～N(μ，σ2)，若P(X<a)＝P(X>b)，则正态分布密度曲线关于直线x＝对称． [自主诊断] ◆[思考辨析] 判断下列说法是否正确，正确的在它后面的括号里打“√”，错误的打“×”． (1)正态变量函数表述式中参数μ，σ的意义分别是样本的均值与方差．(　　 ) (2)正态曲线是单峰的，其与x轴围成的面积是随参数μ，σ的变化而变化的．(　　 ) (3)正态曲线可以关于y轴对称．(　　 ) (4)当μ一定时，曲线的形状由σ确定，σ越小，曲线越“瘦高”，σ越大，曲线越“矮胖”．(　　) 答案：(1)×　(2)×　(3)×　 (4)√ ◆[小题查验] 1．若f(x)＝e－，x∈R，则f(x)(　　) A．有最大值，也有最小值 B．有最大值，但无最小值 C．无最大值，也无最小值 D．有最小值，但无最大值 解析：B　[当x＝1时，f(x)有最大值f(1)＝＝.无最小值．] 2．(多选题)把一条正态曲线a沿着横轴方向向右移动2个单位，得到一条新的曲线b，下列说法中正确的是(　　) A．曲线b仍然是正态曲线 B．曲线a和曲线b的最高点的纵坐标相等 C．以曲线b为正态分布的总体的方差比以曲线a为正态分布的总体的方差大2 D．以曲线b为正态分布的总体的均值比以曲线a为正态分布的总体的均值大2 解析：ABD　[正态曲线向右平移2个单位，σ不发生变化，故C错误，其他正确．] 3．已知某批零件的长度误差(单位：毫米)服从正态分布N(0,32)，从中随机取一件，其长度误差落在区间[3,6]内的概率为(　　) A．0.045 6　　　　　　 B．0.135 9 C．0.271 8 D．0.317 4 解析：B　[P(－3≤ξ≤3)＝0.682 7，P(－6≤ξ≤6)＝0.954 5，则P(3≤ξ≤6)＝×(0.954 5－0.682 7)＝0.135 9.] 4．已知随机变量X服从正态分布N(3，σ2)，且P(X＜5)＝0.8，则P(1＜X＜3)＝　________　. 解析：∵随机变量X服从正态分布N(3，σ2)， ∴对称轴是x＝3.∵P(X＜5)＝0.8， ∴P(X≥5)＝0.2，∴P(1＜X＜3)＝0.5－0.2＝0.3. 答案：0.3 5．已知某公司生产的一种产品的质量X(单位：克)服从正态分布N(100,4)．现从该产品的生产线上随机抽取10 000件产品，其中质量在[98,104]内的产品估计有　________　件． 附：若X服从正态分布N(μ，σ2)，则P(μ－σ＜X＜μ＋σ)≈0.682 7，P(μ－2σ＜X<μ＋2σ)≈0.954 5. 解析：由题意知μ＝100，σ＝2，则