第9章 第9节 二项分布与超几何分布-【创新教程】2024高考数学总复习大一轮教师用书word（新教材，人教B版）

第9节　二项分布与超几何分布 最新课程标准 教师专享 核心素养 考情聚焦 1.了解条件概率和两个事件相互独立的概念． 2．理解n次独立重复试验的模型及二项分布．能解决一些简单的实际问题． 3．理解超几何分布及其导出过程，并能进行简单的应用 1.条件概率的学习，达成逻辑推理和数学建模的素养． 2．相互独立事件同时发生的概率，增强逻辑推理和数学建模的素养． 3．独立重复试验与二项分布，提升数学建模、逻辑推理和数学运算的素养． 4．超几何分布，增强数据分析、逻辑推理和数学抽象的素养 　　新高考中明确表示要加大对数学应用的考查，二项分布与超几何分布是高考考查的重点之一.2024年的高考预计对独立重复试验与二项分布及超几何分布的应用的考查有所突破．题型多以解答题为主，难度不会太大，属于中档题型 [必备知识] 一、二项分布 1．n次独立重复试验 在相同条件下重复n次伯努利试验时，人们总是约定这n次试验是相互独立的，此时这n次伯努利试验也常称为n次独立重复试验． 2．二项分布 一般地，如果一次伯努利试验中，出现“成功”的概率为p，记q＝1－p，且n次独立重复试验中出现“成功”的次数为X，则X的取值范围是{0,1，…，k，…，n}，而且P(X＝k)＝Cpkqn－k，k＝0,1，…，n， 因此X的分布列如下表所示． X 0 1 … k … n P Cp0qn Cp1qn－1 … Cpkqn－k … Cpnq0 注意到上述X的分布列第二行中的概率值都是二项展开式(q＋p)n＝Cp0qn＋Cp1qn－1＋…＋Cpkqn－k＋…＋Cpnq0中对应项的值，因此称X服从参数为n，p的二项分布，记作X～B(n，p)． 二、超几何分布 1．定义：一般地，若有总数为N件的甲、乙两类物品，其中甲类有M件(M＜N)，从所有物品中随机取出n件(n≤N)，则这n件中所含甲类物品数X是一个离散型随机变量，X能取不小于t且不大于s的所有自然数，其中s是M与n中的较小者，t在n不大于乙类物品件数(即n≤N－M)时取0，否则t取n减乙类物品件数之差(即t＝n－(N－M))，而且P(X＝k)＝，k＝t，t＋1，…，s， 这里的X称为服从参数为N，n，M的超几何分布． 2．记法：X～H(N，n，M)． 3．分布列：如果X～H(N，n，M)且n＋M－N≤0，则X能取所有不大于s的自然数，此时X的分布列如下表所示． X 0 1 … k … s P … … 1．A，B中至少有一个发生的事件为A∪B. 2．A，B都发生的事件为AB. 3．A，B都不发生的事件为 . 4．A，B恰有一个发生的事件为(A)∪(B)． 5．A，B至多一个发生的事件为(A)∪(B)∪()． [自主诊断] ◆[思考辨析] 　判断下列说法是否正确，正确的在它后面的括号里打“√”，错误的打“×”． (1)某同学投篮的命中率为0.6，他10次投篮中命中的次数X是一个随机变量，且X～B(10,0.6)．(　　) (2)某福彩的中奖概率为p，某人一次买了8张，中奖张数X是一个随机变量，且X～B(8，p)．(　　) (3)二项分布是一个概率分布列，是一个用公式P(X＝k)＝Cpk(1－p)n－k，k＝0,1,2，…，n表示的概率分布列，它表示了n次独立重复试验中事件A发生次数的概率分布．(　　) (4)小王通过英语听力测试的概率是，他连续测试3次，那么其中恰好第3次测试获得通过的概率是P＝C·1·3－1＝.(　　) (5)如果随机变量X的分布列由下表给出： X 2 5 P 0.3 0.7 则它服从二点分布．(　　) (6)从4名男演员和3名女演员中选出4人，其中女演员的人数X服从超几何分布．(　　) 答案：(1)√　(2)√　(3)√　(4)×　 (5)×　(6)√ ◆[小题查验] 1．设某项试验的成功率是失败率的2倍，用随机变量X去描述1次试验的成功次数，则P(X＝0)等于(　　 ) A．0　　　B.　　　C.　　　D. 解析：C　[设失败率为p，则成功率为2p，X的分布列为 X 0 1 P p 2p 即“X＝0”表示试验失败，“X＝1”表示试验成功． ∴由p＋2p＝1，得p＝，故应选C.] 2．将一枚硬币连掷5次，如果出现k次正面的概率等于出现k＋1次正面的概率，那么k的值等于(　　) A．0 B．1 C．2 D．3 解析：C　[事件A＝“正面向上”发生的次数ξ～B，由题设C5＝C·5，所以k＋k＋1＝5，所以k＝2.] 3．有10件产品，其中3件是次品，从中任取2件，用X表示取到次品的个数，则E(X)等于(　　) A. B. C. D．1 解析：A　[方法一：X的可能取值为0,1,2，P(X＝0)＝＝