第9章 第8节 离散型随机变量的分布列及均值与方差-【创新教程】2024高考数学总复习大一轮教师用书word（新教材，人教B版）

第8节　离散型随机变量的分布列及均值与方差 最新课程标准 教师专享 核心素养 考情聚焦 1.理解取有限个值的离散型随机变量及其分布列的概念，了解分布列对于刻画随机现象的重要性． 2．理解取有限个值的离散型随机变量的均值、方差的概念． 3．能计算简单离散型随机变量的均值、方差，并能解决一些实际问题 1.离散型随机变量的分布列，达成数据分析、逻辑推理和数学抽象的素养． 2．离散型随机变量的期望与方差，增强数据分析、逻辑推理和数学运算的素养 　　2024年的高考预计与分布列相结合，考查期望、方差，通过设置密切贴近现实生活的场景，考查概率思想的应用意识和创新意识．一般以解答题形式出现，难度中等 [必备知识] 一、随机变量 1．随机变量的定义 (1)定义：一般地，如果随机试验的样本空间为Ω，而且对于Ω中的每一个样本点，变量X都对应有　唯一确定　的实数值，就称X为一个随机变量． (2)表示：用大写英文字母X，Y，Z，…或小写希腊字母ξ，η，ζ，…表示． (3)取值范围：随机变量　所有可能　的取值组成的集合，称为这个随机变量的取值范围． 2．随机变量与事件的联系 一般地，如果X是一个随机变量，a，b都是任意实数，那么X＝a，X≤b，X＞b等都表示事件，而且： (1)当a≠b时，事件X＝a与X＝b　互斥　； (2)事件X≤a与X＞a相互　对立　，因此P(X≤a)＋P(X＞a)＝　1　. 3．随机变量的分类 (1)离散型随机变量：若随机变量的所有可能取值都是可以一一列举出来的，那么其是离散型随机变量． (2)连续型随机变量：与　离散型　随机变量对应的是连续型随机变量，连续型随机变量的取值范围包含一个　区间　. 4．随机变量之间的关系 如果X是一个随机变量，a，b都是实数且a≠0，则Y＝aX＋b也是一个　随机变量　，且P(X＝t)＝　P(Y＝at＋b)　. 二、离散型随机变量的分布列 1．定义：一般地，当离散型随机变量X的取值范围是{x1，x2，…，xn}时，如果对任意k∈{1,2，…，n}，概率P(X＝xk)＝pk都是已知的，则称X的概率分布是已知的． 2．离散型随机变量X的概率分布可以用如下形式的表格表示，这个表格称为X的概率分布或分布列． X x1 x2 … xk … xn P p1 p2 … pk … pn 3.离散型随机变量的分布列必须满足： ①pk≥　0　，k＝1,2，…，n； ②k＝p1＋p2＋…＋pn＝　1　. 三、两点分布 　一般地，如果随机变量X的分布列能写成如下表格的形式： X 1 0 P p 1－p 则称随机变量X服从参数为　p　的两点分布． 四、均值或数学期望 1．定义：一般地，如果离散型随机变量X的分布列如下表所示． X x1 x2 … xk … xn P p1 p2 … pk … pn 则称E(X)＝　　为离散型随机变量X的均值或数学期望(简称为期望)． 2．意义：它刻画了X的　平均取值　. 3．性质：若X与Y都是随机变量，且Y＝aX＋b(a≠0)，则E(Y)＝　aE(X)＋b　. 五、离散型随机变量的方差与标准差 1．定义：如果离散型随机变量X的分布列如下表所示． X x1 x2 … xk … xn P p1 p2 … pk … pn 则D(X)＝　[x1－E(X)]2p1＋[x2－E(X)]2p2＋…＋[xn－E(X)]2pn　＝　xi－E(X)]2pi　，称为离散型随机变量X的方差；　　称为离散型随机变量X的标准差． 2．意义：方差和标准差均刻画一个离散型随机变量的　离散　程度(或波动大小)． 3．性质：若X与Y都是随机变量，且Y＝aX＋b(a≠0)，则D(Y)＝　a2D(X)　. 随机变量的均值公式与加权平均数的联系 加权平均数，假设随机试验进行了n次，根据X的概率分布，在n次试验中，x1出现了p1n次，x2出现了p2n次，…，xn出现了pnn次，故在n次试验中，X出现的总次数为p1nx1＋p2nx2＋…＋pnnxn.因此n次试验中，X出现的平均值等于＝E(X)．故E(X)＝p1x1＋p2x2＋…＋pnxn. [自主诊断] ◆[思考辨析] 　判断下列说法是否正确，正确的在它后面的括号里打“√”，错误的打“×”． (1)随机试验所有可能的结果是明确的，并且不止一个．(　　) (2)离散型随机变量的所有取值有时无法一一列出．(　　) (3)随机变量的均值是常数，样本的平均值是随机变量，它不确定．(　　) (4)随机变量的方差和标准差都反映了随机变量取值偏离均值的平均程度，方差或标准差越小，则偏离均值的平均程度越小．(　　) 答案：(1)√　(2)×　(3)√　(4)√ ◆[小题查验] 1．袋中装有