第9章 第7节 条件概率与全概率公式-【创新教程】2024高考数学总复习大一轮教师用书word（新教材，人教B版）

第7节　条件概率与全概率公式 最新课程标准 教师专享 核心素养 考情聚焦 1.结合古典概型，了解条件概率，能计算简单随机事件的条件概率． 2．掌握条件概率的性质并能解决复杂的条件概率． 3．结合古典概型，会利用全概率公式计算概率． 4．了解贝叶斯公式并会简单应用 1.在条件概率的学习和应用的过程中，提升数学抽象、逻辑推理、数学建模、数学运算的核心素养． 2．通过对全概率公式、贝叶斯公式的学习，达成数学抽象、逻辑推理的核心素养 　　条件概率是高考考查的内容之一，多以选择 、填空题的形式出现，全概率公式和贝叶斯公式作为新课程、新教材刚刚添加的内容，在新高考中，将会逐步有所体现 [必备知识] 一、条件概率 1．条件概率的定义 定义 一般地，当事件B发生的概率大于0时(即P(B)＞0)，已知事件B发生的条件下事件A发生的概率，称为事件概率 表示 P(A|B) 计算 公式 P(A|B)＝ 2.条件概率的性质 (1)0≤P(B|A)≤1； (2)P(A|A)＝1； (3)如果B与C互斥，则P(B∪C|A)＝P(B|A)＋P(C|A)． 二、乘法公式及其推广 1．乘法公式：P(AB)＝　P(A)P(B|A)　，其中P(A)＞0. 2．乘法公式的推广 设Ai表示事件，i＝1,2,3，且P(Ai)＞0，P(A1A2)＞0， 则P(A1A2A3)＝　P(A1)P(A2|A1)P(A3|A1A2)　. 其中　P(A3|A1A2)　表示已知A1与A2都发生时A3发生的概率，　P(A1A2A3)　表示A1A2A3同时发生的概率． 三、全概率公式、贝叶斯公式 1．全概率公式 (1)P(B)＝P(A)P(B|A)＋P()P(B|)； (2)定理1若样本空间Ω中的事件A1，A2，…，An满足： ①任意两个事件均互斥，即AiAj＝∅，i，j＝1,2，…，n，i≠j； ②A1＋A2＋…＋An＝Ω； ③P(Ai)＞0，i＝1,2，…，n. 则对Ω中的任意事件B，都有B＝BA1＋BA2＋…＋BAn，且P(B)＝(BAi)＝(Ai)P(B|Ai)． 2．贝叶斯公式 (1)一般地，当0＜P(A)＜1且P(B)＞0时，有P(A|B)＝＝. (2)定理2　若样本空间Ω中的事件A1，A2，…，An满足： ①任意两个事件均互斥，即AiAj＝∅，i，j＝1,2，…，n，i≠j； ②A1＋A2＋…＋An＝Ω； ③1＞P(Ai)＞0，i＝1,2，…，n. 则对Ω中的任意概率非零的事件B，有 P(Aj|B)＝＝ 四、事件的独立性 1．事件A与B相互独立的充要条件是P(AB)＝P(A)P(B)． 2．当P(B)＞0时，A与B独立的充要条件是P(A|B)＝P(A)． 贝叶斯公式充分体现了P(A|B)，P(A)，P(B)，P(B|A)，P(B|)，P(AB)之间的转化．即P(A|B)＝，P(AB)＝P(A|B)P(B)＝P(B|A)P(A)，P(B)＝P(A)P(B|A)＋P()P(B|)之间的内在联系． [自主诊断] ◆[思考辨析] 　判断下列说法是否正确，正确的在它后面的括号里打“√”，错误的打“×”． (1)若事件A，B互斥，则P(B|A)＝1.(　　 ) (2)事件A发生的条件下，事件B发生，相当于A，B同时发生．(　　 ) (3)P(B|A)≠P(AB)．(　　 ) (4)全概率公式解决由因索果问题．(　　 ) (5)贝叶斯公式是在“结果”已经发生条件下，寻找各“原因”发生的条件概率．(　　 ) 答案：(1)×　(2)×　(3)√　(4)√　(5)√ ◆[小题查验] 1．某人忘记了一个电话号码的最后一个数字，只好任意去试拨，他第一次失败、第二次成功的概率是(　　) A.　　　 　　　B.　 　　　　　C. 　　　　　　D. 解析：A　[某人第一次失败，第二次成功的概率为P＝＝.] 2．某班学生的考试成绩中，数学不及格的占15%，语文不及格的占5%，两门都不及格的占3%.已知一学生数学不及格，则他语文也不及格的概率是(　　) A. B. C. D. 解析：A　[设A为事件“数学不及格”，B为事件“语文不及格”，P(B|A)＝＝＝.所以数学不及格时，该学生语文也不及格的概率为.] 3．甲、乙、丙三个车间生产同一种产品，其产量分别是总量的25 %,35%,40%，次品率分别为5 %,4%,2%.从这批产品之中任取一件，则它是次品的概率为(　　) A．0.012 3 B．0.023 4 C．0.034 5 D．0.045 6 解析：C　[本题为简单的全概率公式的应用，从这批产品之中任取一件，则它是次品的概率为0.25×0.05＋0.35×0.04＋0.4×0.02＝0.034 5.] 4．设某动物由出生算起活到20岁的概率为0.8，活到25岁的