第9章 第3节 二项式定理-【创新教程】2024高考数学总复习大一轮教师用书word（新教材，人教B版）

第3节　二项式定理 最新课程标准 教师专享 核心素养 考情聚焦 1.能用计数原理证明二项式定理． 2．会用二项式定理解决与二项展开式有关的简单问题 1.二项展开式中特定项或系数问题，达成直观想象和数学运算的素养． 2．二项式系数及项的系数问题，增强逻辑推理和数学运算的素养． 3．多项式展开式中的特定项或系数问题，提升逻辑推理和数学运算的素养 　　预计2024年的高考将从以下四个方面进行考查： 1．二项展开式中特定项或系数． 2．二项式展开式系数最大项． 3．二项式系数与二项式系数和的计算． 4．二项式与其他知识的结合．一般以选择题、填空题形式出现，难度不大，属基础题型 [必备知识] 1．二项式定理 (1)二项式定理：　(a＋b)n＝Can＋Can－1b＋…＋Can－rbr＋…＋Cbn(n∈N＋)　； (2)通项公式：Tr＋1＝　Can－rbr　，它表示第　r＋1　项； (3)二项式系数：二项展开式中各项的系数C，C，…，C. 2．二项式系数的性质 性质 性质描述 对称性 与首末等距离的两个二项式系数相等，即　C＝C　 增减性 二项式 系数C 当k＜(n∈N＋)时，是　递增　的 当k＞(n∈N＋)时，是　递减　的 二项式系 数最大值 当n为偶数时，中间的一项　Cn　取得最大值 当n为奇数时，中间的两项Cn与Cn取最大值 3.各二项式系数和 (1)(a＋b)n展开式的各二项式系数和：C＋C＋C＋…＋C＝　2n　. (2)偶数项的二项式系数的和等于奇数项的二项式系数的和，即C＋C＋C＋…＝C＋C＋C＋…＝　2n－1　. 　 二项展开式形式上的特点 (1)项数为n＋1. (2)各项的次数都等于二项式的幂指数n，即a与b的指数的和为n. (3)字母a按降幂排列，从第一项开始，次数由n逐项减1直到零；字母b按升幂排列，从第一项起，次数由0逐项增1直到n. (4)二项式的系数从C，C，…一直到C，C. [自主诊断] ◆[思考辨析] 　判断下列说法是否正确，正确的在它后面的括号里打“√”，错误的打“×”． (1)Can－kbk是二项展开式的第k项．(　　 ) (2)通项Can－kbk中的a和b不能互换．(　　 ) (3)二项展开式中，系数最大的项为中间一项或中间两项．(　　 ) (4)(a＋b)n的展开式中某一项的二项式系数与a，b无关．(　　 ) (5)C－2C＋3C－…＋(－1)n－1nC＝0.(　　 ) (6)C＋C＋C＋…＝C＋C＋C＋….(　　 ) 答案：(1)×　(2)√　(3)×　(4)√　(5)√　(6)√ ◆[小题查验] 1．二项式6的展开式中，常数项的值是(　　) A．240　　 B．60　　 C．192　　 D．180 解析：A　[二项式6展开式的通项为Tr＋1＝C(2x)6－rr＝26－rCx6－3r，令6－3r＝0，得r＝2，所以常数项为26－2C＝16×＝240.故选A.] 2．(2023·重庆市模拟)5的展开式中x4的系数为(　　) A．10 B．20 C．40 D．80 解析：C　[Tr＋1＝C(x2)5－rr＝C2rx10－3r，由10－3r＝4，得r＝2，所以x4的系数为C×22＝40.故选C.] 3．(2022·北京卷，8)若(2x－1)4＝a4x4＋a3x3＋a2x2＋a1x＋a0，则a0＋a2＋a4＝(　　) A．40 B．41 C．－40 D．－41 解析：B　[当x＝1时，1＝a4＋a3＋a2＋a1＋a0①；当x＝－1时，81＝a4－a3＋a2－a1＋a0②；①＋②得原式＝41.] 4．化简C＋C＋…＋C＋…＋C的值为　________　. 解析：(1＋x)2n＝C＋Cx＋Cx2＋Cx3＋…＋Cx2n. 令x＝1得C＋C＋C＋…＋C＋C＝22n； 再令x＝－1得C－C＋C－…＋(－1)rC＋…－C＋C＝0. 两式相加得2(C＋C＋…＋C)＝22n，又C＝1，得C＋C＋…＋C＋…＋C＝－1＝22n－1－1. 答案：22n－1－1 5．(x＋1)5(x－2)的展开式中x2的系数为　________　. 解析：(x＋1)5(x－2)＝x(x＋1)5－2(x＋1)5，展开式中含有x2的项为－20x2＋5x2＝－15x2，故x2的系数为－15. 答案：－15 　二项展开式中特定项或系数问题(基础点) 1．二项式10的展开式中，项的系数是(　　) A.　　 B．－　　 C．15　　 D．－15 解析：B　[10的二项展开式的通项为Tr＋1＝C10－rr＝(－1)r22r－10Cx5－，令5－＝，得r＝3，所以项的系数是(－1)3·2－4·C＝－.故选B.] 2．(2023·内江市三模)4展开式中的常数项为(　　) A．6 B．－6