第9章 第2节 排列与组合-【创新教程】2024高考数学总复习大一轮教师用书word（新教材，人教B版）

第2节　排列与组合 最新课程标准 教师专享 核心素养 考情聚焦 1.理解排列、组合的概念． 2．能利用计数原理推导排列数公式、组合数公式． 3．能解决简单的实际问题 1.排列问题，增强数学建模、逻辑推理和数学抽象的素养． 2．组合问题，增强数学建模、逻辑推理和数学抽象的素养． 3．分组分配问题，提升数学建模、逻辑推理和数学抽象的素养 　预计2024年的高考如果独立考查排列组合，则以选择题、填空题的形式出现；如果联合考查，则会在解答题中与概率分布等综合命题．总的来说，难度不大，中档题型 [必备知识] 　排列与组合 排列与排列数 组合与组合数 定义 排列：从n个不同对象中任取m(m≤n)个对象，按照　一定的顺序　排成一列，称为从n个不同元素中取出m个元素的一个排列 组合：从n个不同对象中取出m(m≤n)个对象　并成　一组，称为从n个不同对象中取出m个对象的一个组合 排列数：从n个不同对象中取出m(m≤n)个对象的所有不同排列的　个数　称为从n个不同元素中取出m个元素的排列数 组合数：从n个不同对象中取出m(m≤n)个对象的所有组合的　个数　，称为从n个不同对象中取出m个对象的组合数 公式 排列数公式　A＝n(n－1)(n－2)…(n－m＋1)＝　 组合数公式C＝＝　　 ＝ 性质 A＝　n×(n－1)×(n－2)×…×3×2×1　＝n！；0！＝1 C＝1；C＝　C　； C＋C＝　C　 备注 n、m∈N＋且m≤n 解决排列组合问题“四项基本原则” (1)特殊优先原则：如果问题中有特殊元素或特殊位置，优先考虑这些特殊元素或特殊位置． (2)先取后排原则：在既有取出又需要对取出的元素进行排列时，要先取后排，即完整地把需要排列的元素取出后，再进行排列． (3)正难则反原则：当直接求解困难时，采用间接法解决问题． (4)先分组后分配原则：在分配问题中如果被分配的元素多于位置，这时要先进行分组，再进行分配． [自主诊断] ◆[思考辨析] 　判断下列说法是否正确，正确的在它后面的括号里打“√”，错误的打“×”． (1)所有元素完全相同的两个排列为相同排列．(　　 ) (2)A＝n(n－1)(n－2)×…×(n－m) .(　　 ) (3)两个组合相同的充要条件是其中的元素完全相同．(　　 ) (4)若组合式C＝C，则x＝m成立．(　　 ) (5)C＋C＋C＋C＋…＋C＝C.(　　 ) (6)A＝nA.(　　 ) 答案：(1)×　(2)×　(3)√　(4)×　(5)√　(6)√ ◆[小题查验] 1．(2023·长沙市模拟)考生甲填报某高校专业意向，打算从5个专业中挑选3个，分别作为第一、第二、第三志愿，则不同的填法有(　　) A．10种　 B．60种　 C．125种　 D．243种 解析：B　[依题意，满足题意的不同的填法共有A＝60种，故选B.] 2．用数字1、2、3、4、5组成的无重复数字的四位偶数的个数为(　　 ) A．8 B．24 C．48 D．120 解析：C　[分两步：(1)先排个位有A种排法．(2)再排前三位有A种排法，故共有AA＝48(种)排法．故选C.] 3．(2022·新高考Ⅱ卷，5)甲、乙、丙、丁、戊5名同学站成一排参加文艺汇演，若甲不站在两端，丙和丁相邻，则不同的排列方式共有(　　) A．12种 B．24种 C．36种 D．48种 解析：B　[先利用捆绑法排乙丙丁戊四人，再用插空法选甲的位置，则有AAC＝24种，故选B.] 4．从2位女生，4位男生中选3人参加科技比赛，且至少有1位女生入选，则不同的选法共有　________　种．(用数字填写答案) 解析：当有1位女生入选时，有CC＝12(种)， 当有2位女生入选时，有CC＝4(种)， 由分类加法计数原理可得不同选法共有12＋4＝16(种)． 答案：16 5．将7个不同的小球全部放入编号为2和3的两个小盒子里，使得每个小盒子里的球的个数不小于盒子的编号，则不同的放球方法共有　________　种．(用数字作答) 解析：分类即可，共有C＋C＋C＝21＋35＋35＝91(种)放法． 答案：91 　排列问题(基础点) 1．(2023·滨州市一模)5位同学站成一排照相，其中甲与乙必须相邻，且甲不能站在两端的排法总数是(　　) A．40　　 B．36　　 C．32　　 D．24 解析：B　[甲站第2个位置，则乙站1,3中的一个位置，不同的排法有CA＝12(种)； 甲站第3个位置，则乙站2,4中的一个位置，不同的排法有CA＝12(种)； 甲站第4个位置，则乙站3,5中的一个位置，不同的排法有CA＝12(种)， 故共有12＋12＋12＝36(种)．故选B.] 2．某学校要召开期末考试总结表彰会，准备从甲、乙等7名受表