第9章 第1节 分类加法计数原理与分步乘法计数原理-【创新教程】2024高考数学总复习大一轮教师用书word（新教材，人教B版）

第1节　分类加法计数原理与分步乘法计数原理 最新课程标准 教师专享 核心素养 考情聚焦 1.理解分类加法计数原理和分步乘法计数原理． 2．会用分类加法计数原理或分步乘法计数原理分析和解决一些简单的实际问题 1.分类加法计数原理，达成数学建模、逻辑推理和数学抽象的素养． 2．分步乘法计数原理，达成数学建模、逻辑推理和数学抽象的素养． 3．两个原理的综合应用，提升数据分析、逻辑推理和数学抽象的素养 　　预计2024年的高考将两个计数原理和排列组合结合起来考查，一般以选择题、填空题形式出现，难度不大，属中低档题型 [必备知识] 1．分类加法计数原理 完成一件事，如果有n类办法 且：第一类办法中有m1种不同的方法，第二类办法中有m2种不同的方法……第n类办法中有mn种不同的方法，那么完成这件事共有N＝　m1＋m2＋…＋mn　种不同的方法． 2．分步乘法计数原理 完成一件事，如果需要分成n个步骤，且：做第一步有m1种不同的方法，做第二步有m2种不同的方法……做第n步有mn种不同的方法，那么完成这件事共有N＝　m1×m2×…×mn　种不同的方法． 3．两个计数原理的区别与联系 分类加法计数原理 分步乘法计数原理 区别一 每类办法都能独立地完成这件事，它是独立的、一次的，且每次得到的是最后结果，只需一种方法就可完成这件事 每一步得到的只是中间结果(最后一步除外)，任何一步都不能独立完成这件事，缺少任何一步也不能完成这件事，只有各步都完成了，才能完成这件事 区别二 各类办法之间是互斥的、并列的、独立的 各步之间是关联的、独立的，“关联”确保不遗漏，“独立”确保不重复 联系 这两个原理都是用来计算做一件事情的不同方法数 三个易错点 (1)应用两个计数原理首先要弄清楚先分类还是先分步． (2)分类要做到“不重不漏”，正确把握分类标准． (3)分步要做到“步骤完整”，步步相连． [自主诊断] ◆[思考辨析] 　判断下列说法是否正确，正确的在它后面的括号里打“√”，错误的打“×”． (1)在分类加法计数原理中，两类不同方案中的方法可以相同．(　　 ) (2)在分类加法计数原理中，每类方案中的方法都能直接完成这件事．(　　 ) (3)在分步乘法计数原理中，每个步骤中完成这个步骤的方法是各不相同的．(　　 ) (4)在分步乘法计数原理中，任何一个单独的步骤都能完成这件事．(　　) (5)在分步乘法计数原理中，只有各步骤都完成后，这件事情才算完成．(　　) 答案：(1)×　(2)√　(3)√　(4)×　(5)√ ◆[小题查验] 1．从0,1,2,3,4,5这六个数字中，任取两个不同数字相加，其和为偶数的不同取法的种数有(　　) A．30　　 B．20　　 C．10　　 D．6 解析：D　[从0,1,2,3,4,5六个数字中，任取两数和为偶数可分为两类，①取出的两数都是偶数，共有3种方法；②取出的两数都是奇数，共有3种方法，故由分类加法计数原理得共有N＝3＋3＝6种．故选D.] 2．已知某公园有4个门，从一个门进，另一个门出，则不同的走法的种数为(　　) A．16 B．13 C．12 D．10 解析：C　[将4个门编号为1,2,3,4，从1号门进入后，有3种出门的方式，共3种走法，从2,3,4号门进入，同样各有3种走法，共有不同走法3×4＝12(种)．] 3．(2023·石家庄市模拟)教学大楼共有五层，每层均有两个楼梯，由一层到五层的走法有(　　 ) A．10种 B．25种 C．52种 D．24种 解析：D　[每相邻的两层之间各有2种走法，共分4步．由分步乘法计数原理，共有24种不同的走法．故选D.] 4．(2023·泉州市模拟)如图，用6种不同的颜色把图中A，B，C，D 4块区域分开，若相邻区域不能涂同一种颜色，则涂色方法共有　________　种(用数字作答)． 解析：从A开始涂色，A有6种涂色方法，B有5种涂色方法，C有4种涂色方法，D有4种涂色方法．由分步乘法计数原理可知，共有6×5×4×4＝480(种)涂色方法． 答案：480 5．如图所示，使电路接通，开关不同的开闭方式有　________　种． 解析：当第一组开关有一个接通时，电路接通有C(C＋C＋C)＝14(种)方法；当第一组开关有两个接通时，电路接通有C(C＋C＋C)＝7(种)方法．所以共有14＋7＝21(种)开闭方式． 答案：21 　分类加法计数原理(基础点) 1．(2023·重庆市模拟)如图，A、B、C、D为四个村庄，要修筑三条公路，将这四个村庄连起来，则不同的修筑方法共有(　　) A．8种　　　　　　　 B．12种 C．16种 D．20种 解析：C　[分为以下两类： 第一类，从一个村庄出发向其他三个村庄各修一条路，共有4种方法；