第8章 第4节 统计模型-【创新教程】2024高考数学总复习大一轮教师用书word（新教材，人教B版）

第4节　统计模型 最新课程标准 教师专享 核心素养 考情聚焦 1.结合实例，了解样本相关系数的统计含义，了解样本相关系数与标准化数据向量夹角的关系，会通过相关系数比较多组成对样本数据的相关性． 2．结合具体实例，了解一元线性回归模型的含义，了解模型参数的统计意义，了解最小二乘法原理，掌握一元线性回归模型参数的最小二乘估计方法． 3．针对实际问题，会用一元线性回归模型进行预测． 4．通过实例，理解2×2列联表的统计意义，了解2×2列联表独立性检验及其应用 1.相关关系的判断，达成直观想象和数据分析的素养． 2．回归方程的求法及回归分析，增强逻辑推理、数据分析和数学运算的素养． 3．独立性检验，增强逻辑推理、数据分析和数学运算的素养 　　预计2024年的高考将以选择题、填空题的形式考查线性回归系数或利用线性回归方程进行预测；在给出临界值的情况下判断两个变量是否相关；在解答题中与频率分布相结合，考察线性回归方程的建立及应用和独立性检验的应用，难度中等 [必备知识] 一、相关关系 1．相关关系 如果两个变量之间确实有一定的关系，但没有达到可以　互相决定　的程度，它们之间的关系带有一定的　随机性　，像这样两个变量之间的关系，统计学上都称为相关关系． 2．线性相关 (1)散点图 一般地，如果收集到了变量x和变量y的n对数据(简称为成对数据)，如下表示 序号i 1 2 3 … n 变量x x1 x2 x3 … xn 变量y y1 y2 y3 … yn 则在平面直角坐标系xOy中描出点(xi，yi)，i＝1,2,3，…，n，就可以得到这n对数据的散点图． (2)线性相关：如果由变量的成对数据、散点图或直观经验可知，变量x与变量y之间的关系可以近似地用　一次　函数来刻画，则称x与y线性相关． (3)正相关和负相关 若x与y线性相关，如果一个变量增大，另一个变量大体上也　增大　，则称这两个变量正相关；如果一个变量增大，另一个变量大体上　减少　，则称这两个变量负相关． 二、回归直线方程 1．一般地，已知变量x与y的n对成对数据(xi，yi)，i＝1,2,3，…，n.任意给定一个一次函数y＝bx＋a，对每一个已知的xi，由直线方程可以得到一个估计值i＝bxi＋a，如果一次函数＝x＋能使(1－y1)2＋(2－y2)2＋…＋(n－yn)2＝(yi－i)2取得最小值，则＝x＋称为y关于x的回归直线方程(对应的直线称为回归直线)．因为是使得平方和最小，所以其中涉及的方法称为最小二乘法． 其中，回归系数＝＝，＝－. ＝(x1＋x2＋…＋xn)＝i; ＝(y1＋y2＋…＋yn)＝i. 2．回归直线方程：＝x＋的性质 (1)回归直线一定过点(，)． (2)回归系数的实际意义 ①是回归方程的斜率；②当x增大一个单位时，增大个单位． 三、相关系数 1．定义：统计学里一般用 r＝　　＝ 　　来衡量y与x的线性相关性强弱，这里的r称为线性相关系数(简称为相关系数)． 2．性质 ①|r|≤　1　，且y与x正相关的充要条件是　r＞0　，y与x负相关的充要条件是　r＜0　； ②|r|越　小　，说明两个变量之间的线性相关性越　弱　，也就是得出的回归直线方程越没有价值，即方程越不能反映真实的情况；|r|越　大　，说明两个变量之间的线性相关性越　强　，也就是得出的回归直线方程越有价值； ③|r|＝1的充要条件是成对数据构成的点都在　回归直线　上． 四、非线性回归方程 如果具有相关关系的两个变量x，y不是　线性相关　关系，那么称为非线性相关关系，所得到的方程称为非线性回归方程(也简称为回归方程)． 五、独立性检验 1．2×2列联表 (1)定义：如果随机事件A与B的样本数据整理成如下的表格形式． A 总计 B a b a＋b c d c＋d 总计 a＋c b＋d a＋b＋c＋d 因为这个表格中，核心数据是中间4个格子，所以这样的表格通常称为2×2列联表． (2)χ2计算公式：χ2＝　　，其中n＝　a＋b＋c＋d　. 2．独立性检验 任意给定一个α(称为　显著性水平　，通常取为0.05,0.01等)，可以找到满足条件P(χ2≥k)＝α的数k(称为显著性水平α对应的　分位数　)，就称在犯错误的概率不超过　α　的前提下，可以认为A与B不独立(也称为A与B有关)；或说有　1－α　的把握认为A与B有关．若χ2＜k成立，就称不能得到前述结论．这一过程通常称为独立性检验． [自主诊断] ◆[思考辨析] 　判断下列说法是否正确，正确的在它后面的括号里打“√”，错误的打“×”． (1)若相关系数为0，则说明两变量x，y之间没任何关系．(　　 ) (2)两个变量相关系数越大，说明它们的相关性越强．(　　 ) (