第8章 第3节 用样本估计总体-【创新教程】2024高考数学总复习大一轮教师用书word（新教材，人教B版）

第3节　用样本估计总体 最新课程标准 教师专享 核心素养 考情聚焦 1.会灵活运用样本的数字特征估计总体的数字特征． 2．用样本分布估计总体分布． 3．能够利用频率分布直方图、茎叶图等解决统计问题 1.用样本的数字特征估计总体的数字特征，可达成数据分析和数学运算的核心素养． 2．通过频率分布或频率分布直方图对数据作出总体估计可提升数据分析，直观想象和数学建模的核心素养 　　主要考查用样本的数字特征估计总体的数字特征和通过频率分布或频率分布直方图对数据作出总体估计．题型以选择题和填空题为主，出现解答题时主要与概率相结合，难度为中低档 [必备知识] 一、用样本的数字特征估计总体的数字特征 一般情况下，如果样本的容量恰当，抽样方法又合理的话，样本的特征能够反映总体的特征．特别地，样本平均数(也称为样本均值)、方差(也成为样本方差)与总体对应地值相差不会太大，一般来说，在估计总体的数字特征时，只需直接算出样本对应的数字特征即可． 二、分层抽样下用样本的数字特征估计总体的数字特征 假设第一层有m个数，分别为x1，x2，…xm，平均数为，方差为s2；第二层有n个数，分别为y1，y2，…，yn平均数为，方差为t2，则 ＝i，s2＝(xi－)2 ＝i，t2＝(yi－)2 如果记样本均值为，样本方差为b2，则可以计算出 ＝(i＋i)＝ b2＝ ＝. 三、用样本的分布来估计总体的分布 1．众数、中位数、平均数与频率分布表、频率分布直方图的关系 (1)众数：众数一般用频率分布表中频率最高的一小组的组中值来表示，即在样本数据的频率分布直方图中，最高矩形的底边中点的横坐标． (2)中位数：在频率分布表中，中位数是累计频率(样本数据小于某一数值的频率叫作该数值点的累计频率)为0.5时所对应的样本数据的值，而在样本中有50%的个体小于或等于中位数，也有50%的个体大于或等于中位数．因此，在频率分布直方图中，中位数左边和右边的直方图的面积应该相等． (3)平均数：平均数在频率分布直方图中等于每个小矩形底边中点的横坐标与小矩形的面积的乘积之和．又平均数是频率分布直方图的“重心”． 2．利用直方图求众数、中位数、平均数均为近似值，往往与实际数据得出的不一致，但它们能粗略估计其众数、中位数和平均数. 1．计算样本平均数、样本方差直接利用公式，注意公式的变形， 样本方差s2＝(xi－)2＝－2. 2．在按比例分配分层随机抽样中，我们可以用样本平均数和样本方差估计总体平均数和总体方差. [自主诊断] [思考辨析] 　判断下列说法是否正确，正确的在它后面的括号里打“√”，错误的打“×”． (1)用样本估计出的总体中位数一定是样本数据中的某个数．(　　) (2)在一组样本数据中，众数一定是唯一的．(　　) (3)标准差越大，数据的稳定性越强．(　　) (4)样本中共有五个个体，其值分别为a,0,1,2,3，若该样本的平均数为1，则样本方差为2.(　　) 答案：(1)×　(2)×　(3)×　(4)√ [小题查验] 1．有4万个不小于70的两位数，从中随机抽取了3 000个数据，统计如下： 数据% 70≤x≤79 80≤x≤89 90≤x≤99 个数 800 1 300 900 平均数 78.1 85 91.9 请根据表格中的信息，估计这4万个数据的平均数为(　　) A．92.16　　　　　　 B．85.23 C．84.73 D．77.97 解析：B　[这3 000个数据的平均数为． ＝85.23. 用样本平均数估计总体平均数，可知这4万个数据的平均数约为85.23.] 2．为了解我国13岁男孩的平均身高，从北方抽取了300个男孩，平均身高1.60 m；从南方抽取了200个男孩，平均身高为1.50 m．由此可估计我国13岁男孩的平均身高大约为(　　) A．1.57 m B．1.56 m C．1.55 m D．1.54 m 解析：B　[因为从北方抽取了300个男孩，平均身高1.60 m，从南方抽取了200个男孩，平均身高为1.50 m，所以这500名13岁男孩的平均身高是＝1.56，据此可估计我国13岁男孩的平均身高约为1.56 m，故选B.] 3．从某小区抽取100户居民进行月用电量调查，发现其用电量都在50至350度之间，频率分步直方图如图，则用电度数的中位数约为(　　) A．150 B．177.8 C．183.3 D．200 解析：C　[因有50%的个体小于或等于中位数，小于150的个体频率为(0.0024＋0.0036)×50＝0.30，150～200之间的频率0.0060×50＝0.30，所以中位数为150～200之间的处，即150＋×50＝183.3.] 4．解放战争中，国民党军队拥有过多辆各型坦克，编成了