第7章 第9节 第2课时 定点、定值、探索性问题-【创新教程】2024高考数学总复习大一轮教师用书word（新教材，人教B版）

第二课时　定点、定值、探索性问题 　　　　　　　 圆锥曲线中的定点、定值与探索性问题是高考考查的重点和热点，常利用特殊与一般、方程思想求解． 　定点问题 [典例]　(2023·临汾模拟)已知抛物线C∶y2＝2px(0＜p＜5)，与圆M：(x－5)2＋y2＝16有且只有两个公共点． (1)求抛物线C的方程； (2)经过R(2,0)的动直线l与抛物线C交于A，B两点，试问在直线y＝2上是否存在定点Q，使得直线AQ，BQ的斜率之和为直线RQ斜率的2倍？若存在，求出定点Q；若不存在，请说明理由． [破题关键点]　(1)联立圆与抛物线方程，得关于x的一元二次方程，由对称性结合判别式等于0，求得p值，可得抛物线C的方程； (2)假设直线y＝2上存在定点Q(m,2)，当直线l的斜率不存在时，求得A，B的坐标，可得2kRQ＝kAQ＋kBQ成立． 当直线l的斜率存在时，设直线l的方程为y＝k(x－2)，A(x1，y1)，B(x2，y2)，联立直线与抛物线方程，得关于x的一元二次方程，利用根与系数的关系结合斜率关系列式求得m值得结论． [解]　(1)联立方程，得x2＋(2p－10)x＋9＝0. ∵抛物线C与圆M有且只有两个公共点， 则Δ＝(2p－10)2－36＝0，解得p＝2或p＝8(舍去)， ∴抛物线C的方程为y2＝4x. (2)假设直线y＝2上存在定点Q(m,2)． 当直线l的斜率不存在时，A(2,2)，B(2，－2)， 由题知2kRQ＝kAQ＋kBQ，即2·＝＋恒成立． 当直线l的斜率存在时， 设直线l的方程为y＝k(x－2)，A(x1，y1)，B(x2，y2)， 联立，得k2x2－4(k2＋1)x＋4k2＝0， 则x1＋x2＝，x1x2＝4. 由题知2kRQ＝kAQ＋kBQ， ∴2·＝＋＝ ＝ ＝ 整理得：(m2－4)k－2(m＋2)＝0. ∵上式对任意k成立，∴，解得m＝－2. 故所求定点为Q(－2,2)． 定点问题的常见解法 (1)假设定点坐标，根据题意选择参数，建立一个直线系或曲线系方程，而该方程与参数无关，故得到一个关于定点坐标的方程组，以这个方程组的解为坐标的点即所求定点； (2)从特殊位置入手，找出定点，再证明该点适合题意． (2022·全国乙卷，20)(12分)已知椭圆E的中心为坐标原点，对称轴为x轴、y轴，且过A(0，－2)，B两点． (1)求E的方程； (2)设过点P(1，－2)的直线交E于M，N两点，过M且平行于x轴的直线与线段AB交于点T，点H满足＝.证明：直线HN过定点． 解：(1)设E的方程为＋＝1(a＞0，b＞0)，将 A(0，－2)，B两点代入得 (a＞0，b＞0)，解得a2＝3，b2＝4，故E的方程为＋＝1. (2)由A(0，－2)，B， 可得直线AB：y＝x－2. ①若过P(1，－2)的直线的斜率不存在，直线为x＝1.代入＋＝1，可得M，N，将y＝代入AB：y＝x－2可得T(＋3，)，由＝，得H.易求得此时直线HN：y＝x－2.所以直线过点(0，－2)． ②若过点P(1，－2)的直线的斜率存在，设kx－y－(k＋2)＝0，M(x1，y1)，N(x2，y2)． 联立得(3k2＋4)x2－6k(2＋k)·x＋3k(k＋4)＝0. 故有， 得，且x1y2＋x2y1＝(*) 联立，可得T，H(3y1＋6－x1，y1)，可求得此时HN：y－y2＝(x－x2)，将(0，－2)代入整理得2(x1＋x2)－6(y1＋y2)＋x1y2＋x2y1－3y1y2－12＝0， 将(*)式代入，得24k＋12k2＋96＋48k－24k－48－48k＋24k2－36k2－48＝0，显然成立． 综上，可得直线HN过定点(0，－2)． 　定值问题 [典例]　(2023·吉安一模)已知椭圆C：＋＝1(a＞，b＞0)与圆O∶x2＋y2＝3有且仅有两个公共点，点P、F1、F2分别是椭圆C上的动点、左焦点、右焦点，三角形PF1F2面积的最大值是. (1)求椭圆C的方程； (2)若点P在椭圆第一象限部分上运动，过点P作圆O的切线l1，过点O作OP的垂线l2，求证：l1，l2交点Q的纵坐标的绝对值为定值． [破题关键点]　(1)根据椭圆与圆有且仅有两个公共点，以及椭圆和圆的对称性，△PF1F2面积的最大值是，可以求出a，b，c的值，得到椭圆的方程． (2)设出P，Q，H坐标，根据面积相等即勾股定理得到OH，PQ，OP，OQ之间的等量关系，|OH|＝，从而得到点P，Q之间的坐标关系，再由OP⊥OQ，将Q点坐标用P点坐标表示出来，即可证明Q点纵坐标的绝对值为定值． [解]　(1)依题意⇒， 所以椭圆C的方程是＋＝1. (2)设点P(x0，y0)，Q(x1，y1)，则3x＋4y＝12. 设直线l1与圆O的切点为H，由几何知识得到：|PQ|·|OH|＝|