第7章 第9节 第1课时 最值、范围、证明问题-【创新教程】2024高考数学总复习大一轮教师用书word（新教材，人教B版）

第9节　圆锥曲线的综合问题 最新课程标准 教师专享 核心素养 考情聚焦 1.掌握与圆锥曲线有关的最值、范围问题． 2．掌握与圆锥曲线有关的定点、定值问题． 3．掌握与圆锥曲线有关的证明、探索性问题 1.最值、范围、证明问题的研究，增强逻辑推理、数学运算和数学抽象的素养． 2．定点、定值、探索性问题的研究增强，增强逻辑推理、数学运算和数学抽象的素养 圆锥曲线的综合一直是高考的热点，考查知识有最值、范围、证明问题、定点、定值、探索性问题题型．以解答题形式出现，难度大，属高档题型，做题时要充分利用函数与方程思想、转化与化归思想、数形结合等数学思想与技巧的运用 第一课时　最值、范围、证明问题 圆锥曲线中的最值、范围问题及证明问题是高考考查的重点与热点，最值、范围问题常常通过可以建立目标函数，通过研究函数的性质求解，也利用三角函数有界性求解，还可以数形结合利用几何性质求解．　　 　最值问题 [典例]　(2023·高密市模拟)已知椭圆C的中心在原点O，焦点在x轴上，D(0,2)为椭圆C短轴的一个端点，F1、F2为椭圆的左、右焦点，线段DF2的延长线与椭圆C相交于点E，且|DF2|＝3|EF2|. (1)求椭圆C的方程； (2)如图，点A为椭圆上一动点(非长轴端点)，AF2的延长线与椭圆交于B点，AO的延长线与椭圆交于C点，求△ABC面积的最大值． [破题关键点]　(1)由题得b＝2且根据|DF2|＝3|EF2|可得＝3，设点E坐标为(x，y)，得到＋＝1，结合c2＝a2－4，解出a2即可； (2)分直线AB斜率存在与不存在两种情况讨论：斜率不存在时，得到面积为4；斜率存在时，直线AB的方程为y＝k(x－2)，A(x1，y1)，B(x2，y2)，联立方程，表示出|AB|，点O到直线AB的距离d，表示出面积8·，即可求出其范围． [解]　(1)设椭圆C的方程为＋＝1(a＞b＞0)，右焦点F2(c,0)． 因为D(0,2)为椭圆短轴的一个端点，则b＝2. 因为|DF2|＝3|EF2|， 故可得＝3，设点E坐标为(x，y)， 即(c，－2)＝3(x－c，y)，解得x＝，y＝－， 则点E. 因为点E在椭圆上，则＋＝1，即a2＝2c2. 又c2＝a2－4，则a2＝2(a2－4)，得a2＝8， 所以椭圆C的标准方程是＋＝1. (2)①当直线AB的斜率不存在时， 不妨取A(2，)，B(2，－)，C(－2，－)， 故S△ABC＝×2×4＝4； ②当直线AB的斜率存在时， 设直线AB的方程为y＝k(x－2)，A(x1，y1)， B(x2，y2)， 联立方程，化简得(2k2＋1)x2－8k2x＋8k2－8＝0， 则Δ＝64k4－4(2k2＋1)(8k2－8)＝32(k2＋1)＞0，x1＋x2＝，x1x2＝， 故|AB|＝＝＝4·， 点O到直线y＝k(x－2)的距离d＝＝. 因为O是线段AC的中点，所以点C到直线AB的距离为2d＝， ∴S△ABC＝|AB|·2d＝·＝8·， ∵＝≤＝，又k2≠k2＋1，所以等号不成立． ∴S△ABC＝8·＜8×＝4， 综上可得，S△ABC面积的最大值为4. 　　 圆锥曲线中的最值问题类型较多，解法灵活多变，但总体上主要有两种方法：一是利用几何方法，若题目的条件和结论能明显体现几何特征及意义，则考虑利用图形性质来解决；即通过利用曲线的定义、几何性质以及平面几何中的定理、性质等进行求解；二是利用代数方法，若题目的条件和结论能体现一种明确的函数关系，则可先建立起目标函数，再求这个函数的最值，即把要求最值的几何量或代数表达式表示为某个(些)参数的函数(解析式)，然后利用函数方法、基本不等式法、配方法及导数法求解不等进行求解． (2022·浙江卷，21)如图，已知椭圆＋y2＝1.设A，B是椭圆上异于P(0,1)的两点，且点Q在线段AB上，直线PA，PB分别交直线y＝－x＋3于C，D两点． (1)求点P到椭圆上点的距离的最大值； (2)求|CD|的最小值． 解析：(1)设Q(2cos θ，sin θ)是椭圆上任意一点，P(0,1)， 所以|PQ|2＝12cos2θ＋(1－sin θ)2 ＝13－11sin2θ－2sin θ＝－112≤， 故P到椭圆点的距离的最大值为. (2)设直线AB方程为：y＝kx＋，设A(x1，y1)，B(x2，y2) 联立，消去y，整理得：x2＋kx－＝0 所以x1＋x2＝－，x1x2＝－. 又PA方程可设为y＝x＋1， 联立，解得xC＝＝， 同理可得xD＝＝， 所以|CD|＝|xC－xD|＝ ＝2＝ 2 代入x1＋x2＝－，x1x2＝－. 化简得：|CD|＝·， ①当k＜－时，＝－＞，即|CD|＞2； ②当k＞－时，记f(k)＝＝，则f′(k)＝，当－＜k＜时，f′(k)＜0，当k＞时，f′