第7章 第8节 直线与圆锥曲线的位置关系-【创新教程】2024高考数学总复习大一轮教师用书word（新教材，人教B版）

第8节　直线与圆锥曲线的位置关系 最新课程标准 教师专享 核心素养 考情聚焦 1.掌握解决直线与椭圆、抛物线的位置关系的思想方法． 2．了解圆锥曲线的简单应用． 3．理解数形结合的思想 1.直线与圆锥曲线的位置关系的判定与应用，达成直观想象和数学运算的素养． 2．根据直线与圆锥曲线的位置求参数，增强逻辑推理和数学运算的素养． 3．弦长问题与中点弦问题的研究，提升逻辑推理和数学运算的素养 　　直线与圆锥曲线的位置关系一直是高考的热点，考查知识有直线与椭圆、抛物线相交，涉及弦长、中点、面积、对称性等问题．题型既有选择题、填空题，又有解答题，难度不小，属中高档题型，做题时要充分利用函数与方程思想、转化与化归思想、数形结合等数学思想的运用 [必备知识] 　直线与圆锥曲线的位置关系的判定 (1)代数法：把圆锥曲线方程与直线方程联立消去y，整理得到关于x的方程ax2＋bx＋c＝0. 方程ax2＋bx＋c＝0的解 l与C1 的交点 a＝0 b＝0 无解(含l是双曲线的渐近线) 　无公共点　 b≠0 有一解(含l与抛物线的对称轴平行或与双曲线的渐近线平行) 　一个交点　 a≠0 Δ>0 两个　不等　的解 　两个交点　 Δ＝0 两个相等的解 　一个切点　 Δ<0 无实数解 无公共点 (2)几何法：在同一直角坐标系中画出圆锥曲线和直线，利用图像和性质可判定直线与圆锥曲线的位置关系． 1．直线与圆锥曲线的相交弦长问题 设斜率为k(k≠0)的直线l与圆锥曲线C相交于A，B两点，A(x1，y1)，B(x2，y2)，则|AB|＝|x1－x2|＝·＝·|y1－y2|＝ ·.特别，若直线过抛物线的焦点，则弦长|AB|＝x1＋x2＋p＝(α为弦AB的倾斜角)． 2．中点弦的重要结论 AB为椭圆＋＝1(a>b>0)的弦，A(x1，y1)，B(x2，y2)，弦中点M(x0，y0)． (1)斜率：k＝－. (2)弦AB的斜率与弦中点M和椭圆中心O的连线的斜率之积为定值－. [自主诊断] ◆[思考辨析] 　判断下列说法是否正确，正确的在它后面的括号里打“√”，错误的打“×”． (1)直线与双曲线有且只有一个公共点，则判别式Δ＝0.(　　 ) (2)经过抛物线上一点有且只有一条直线与抛物线有一个公共点．(　　 ) (3)过抛物线内一点只有一条直线与抛物线有且只有一个公共点．(　　 ) (4)直线y＝kx＋1与椭圆＋＝1恒有两个公共点．(　　 ) (5)直线与椭圆有且只有一个公共点，则其判别式Δ＝0.(　　 ) 答案：(1)×　(2)×　(3)√　(4)√　(5)√ [小题查验] 1．直线y＝kx－k＋1与椭圆＋＝1的位置关系为(　　 ) A．相交　　　　　　　　　 B．相切 C．相离 D．不确定 解析：A　[直线y＝kx－k＋1＝k(x－1)＋1恒过定点(1,1)，又点(1,1)在椭圆内部，故直线与椭圆相交．] 2．(多选题)(2022·广州模拟)若椭圆C：＋＝1(b＞0)的左、右焦点分别为F1，F2，则下列选项中b的取值，能使以F1F2为直径的圆与椭圆C有公共点的有(　　) A．b＝ B．b＝ C．b＝2 D．b＝ 解析：ABC　[由题意得，0＜b＜3，以F1F2为直径的圆的方程为x2＋y2＝c2，由该圆与椭圆有公共点，得c≥b，即c2≥b2，即9－b2≥b2，解得0＜b≤，结合选项可知，A，B，C满足题意．故选ABC.] 3．若直线y＝kx与双曲线－＝1相交，则k的取值范围是(　　) A. B. C. D.∪ 解析：C　[双曲线－＝1的渐近线方程为y＝±x，若直线与双曲线相交，数形结合，得k∈.] 4．已知与向量v＝(1,0)平行的直线l与双曲线－y2＝1相交于A，B两点，则|AB|的最小值为　________　. 解析：由题意可设直线l的方程为y＝m， 代入－y2＝1得x2＝4(1＋m2)， 所以x1＝＝2， x2＝－2， 所以|AB|＝|x1－x2|＝4≥4， 即当m＝0时，|AB|有最小值4. 答案：4 5．(2022·新高考Ⅱ卷，16)已知直线l与椭圆＋＝1在第一象限交于A，B两点，l与x轴、y轴分别交于M，N两点，且|MA|＝|NB|，|MN|＝2，则l的方程为　________　. 解析：取AB的中点为E，因为|MA|＝|NB|，所以|ME|＝|NE|，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，可得×＝＝ ＝－，即kOE·kAB＝＝＝－.设直线AB：y＝kx＋m，k<0，m>0，令x＝0， y＝m，令y＝0，x＝－，所以E，所以k×＝－k2＝－，k＝－，又∵|MN|＝2，即|MN|＝＝2，即m2＋2m2＝12，m＝2，所以直线AB：y＝－x＋2， 即x＋y－2＝0. 答案：x＋y－