第7章 第7节 抛物线-【创新教程】2024高考数学总复习大一轮教师用书word（新教材，人教B版）

第7节　抛物线 最新课程标准 教师专享 核心素养 考情聚焦 1.了解抛物线的实际背景，了解抛物线在刻画现实世界和解决实际问题中的作用． 2．掌握抛物线的定义、几何图形、标准方程及简单几何性质 1.抛物线的定义及其应用，达成直观想象和数学建模的素养． 2．抛物线的标准方程与几何性质掌握与应用，增强直观想象、逻辑推理和数学运算的素养． 3．直线与抛物线的位置关系的判断与应用，提升逻辑推理、数学抽象和数学运算的素养 　　抛物线的定义、标准方程、几何性质近年高考命题的热点．常与圆、椭圆、双曲线、直线、导数等知识交汇考查，考查学生的分析问题解决问题的能力．三种题型都有可能出现，选择题、填空题一般为中低档题型，解答题为中高档题．做题时要充分利用函数与方程思想、转化与化归思想、数形结合等数学思想的运用 [必备知识] 1．抛物线的定义： 一般地，设F是平面内的一个定点，l 是不过点F的一条定直线，则平面上到F的距离与到l的距离相等的点的轨迹称为抛物线，其中定点F称为抛物线的焦点，定直线 l 称为抛物线的准线. 另外，从本章导语中可以看出，抛物线也可以通过用平面截圆锥面得到，因此抛物线是一种圆锥曲线． 2．抛物线的标准方程与几何性质 标准 方程 y2＝2px (p＞0) y2＝－2px (p＞0) x2＝2py (p＞0) x2＝－2py (p＞0) p的几何意义：焦点F到准线l的　距离 图形 顶点 　O(0,0)　 对称轴 　y＝0　 　x＝0　 焦点 　F　 　F　 　F　 　F　 离心率 e＝　1　 准线 方程 　x＝－　 　x＝　 　y＝－　 　y＝　 范围 x≥0， y∈R x≤0， 　y∈R　 y≥0， 　x∈R　 y≤0， x∈R 开口 方向 向　右　 向　左　 向　上　 向　下　 焦半径 (其中P (x0，y0)) |PF|＝ 　x0＋　 |PF|＝ －x0＋ |PF|＝ y0＋ |PF|＝ 　－y0＋　 　 与焦点弦有关的常用结论 (以图为依据) (1)y1y2＝－p2，x1x2＝. (2)|AB|＝x1＋x2＋p＝(θ为AB的倾斜角)． (3)＋为定值. (4)以AB为直径的圆与准线相切． (5)以AF或BF为直径的圆与y轴相切． [自主诊断] ◆[思考辨析] 　判断下列说法是否正确，正确的在它后面的括号里打“√”，错误的打“×”． (1)平面内与一个定点F和一条定直线l的距离相等的点的轨迹一定是抛物线．(　　 ) (2)抛物线y2＝4x的焦点到准线的距离是4.(　　 ) (3)若直线与抛物线只有一个交点，则直线与抛物线一定相切．(　　 ) (4)方程y＝ax2(a≠0)表示的曲线是焦点在x轴上的抛物线，且其焦点坐标是，准线方程是x＝－.(　　 ) (5)若一抛物线过点P(－2,3)，其标准方程可写为y2＝2px(p>0)．(　　 ) (6)过抛物线的焦点与抛物线对称轴垂直的直线被抛物线截得的线段叫做抛物线的通径，那么抛物线x2＝－2ay(a>0)的通径长为2a.(　　 ) 答案：(1)×　(2)×　(3)×　(4)×　(5)×　(6)√ ◆[小题查验] 1．坐标平面内到定点F(－1,0)的距离和到定直线l：x＝1的距离相等的点的轨迹方程是(　　) A．y2＝2x　　　　　　　 B．y2＝－2x C．y2＝4x D．y2＝－4x 解析：D　[由抛物线的定义知，点的轨迹是开口向左的抛物线，且p＝2，∴其方程为y2＝－2px＝－4x.] 2．(2023·南昌市一模)已知抛物线y2＝4x的焦点为F，准线l与x轴的交点为K，抛物线上一点P，若|PF|＝5，则△PKF的面积为(　　) A．4　　 B．5　　 C．8　　 D．10 解析：A　[F(1,0)，K(－1,0)，准线方程为x＝－1.设P(x0，y0)，则|PF|＝x0＋1＝5，即x0＝4，.不妨设P在第一象限，则P(4,4)，∴SΔPKF＝×|FK|×|y0|＝×2×4＝4.故选A.] 3．(2022·全国乙卷，5)设F为抛物线C：y2＝4x的焦点，点A在C上，点B(3,0)，若|AF|＝|BF|，则|AB|＝(　　) A．2 B．2 C．3 D．3 解析：B　[易知抛物线C：y2＝4x的焦点为F(1,0)，于是有|BF|＝2，故|AF|＝2，注意到抛物线通径2p＝4，通径为抛物线最短的焦点弦，分析知AF必为半焦点弦，于是有AF⊥x轴，于是有|AB|＝＝2，故选B.] 4．(2023·合肥市模拟)斜率为的直线过抛物线C：y2＝4x的焦点，且与C交于A，B两点，则|AB|＝　________　. 解析：设A(x1，y1)，B(x2，y2)，又直线AB：