第7章 第6节 双曲线-【创新教程】2024高考数学总复习大一轮教师用书word（新教材，人教B版）

第6节　双曲线 最新课程标准 教师专享 核心素养 考情聚焦 　　了解双曲线的定义、几何图形和标准方程，知道其简单的几何性质(范围、对称性、顶点、离心率、渐近线) 1.双曲线的定义理解与学习，达成数学抽象和直观想象的素养． 2．双曲线的标准方程的掌握，达成逻辑推理和数学运算的素养． 3．双曲线的几何性质的应用，增强直观想象、逻辑推理和数学运算的素养 　　双曲线的定义、标准方程、几何性质是高考命题的热点．常与圆、椭圆、抛物线等知识交汇命题，考查学生的分析问题解决问题的能力．题型以选择题、填空题为主，一般为中低档题型，做题时要充分利用函数与方程思想、转化与化归思想、数形结合等数学思想的运用 [必备知识] 1．双曲线定义 一般地，如果F1，F2是平面内的两个定点，a是一个　正常数　，且2a＜|F1F2|.则平面上满足||PF1|－|PF2||＝2a的动点P的轨迹称为双曲线，其中，两个定点F1，F2称为双曲线的　焦点　，两个焦点的距离|F1F2|称为双曲线的焦距，双曲线也可以通过用平面截两个特殊的　圆锥　面得到，因此双曲线是一种圆锥曲线． (1)若2a＝|F1F2|，点P的轨迹是以F1，F2为端点的两条射线； (2)若2a＞|F1F2|，点P的轨迹不存在． (3)定义中若常数为0，则此时P的轨迹为线段F1F2的垂直平分线． 2．双曲线的标准方程和几何性质 标准方程 －＝1 (a＞0，b＞0) －＝1 (a＞0，b＞0) 图形 性质 范围 x≥a或x≤－a，y∈R y≤－a或y≥a，x∈R 对称性 对称轴：　坐标轴　 对称中心：　原点　 顶点 顶点坐标： A1　(－a,0)　， A2　(a,0)　 顶点坐标： A1　(0，－a)　， A2　(0，a)　 焦点 F1(－c,0)，F2(c,0) F1(0，－c)，F2(0，c) 性质 渐近线 y＝±x y＝±x 离心率 e＝，e∈　(1，＋∞)　其中c＝ 实虚轴 线段A1A2叫做双曲线的实轴，它的长|A1A2|＝　2a　； 线段B1B2叫做双曲线的虚轴，它的长|B1B2|＝　2b　； a叫做双曲线的实半轴长，b叫做双曲线的虚半轴长 a，b，c 的关系 c2＝　a2＋b2　(c>a>0，c>b>0) 双曲线中的几个常用结论 (1)焦点到渐近线的距离为b. (2)实轴长和虚轴长相等的双曲线叫做等轴双曲线． (3)双曲线为等轴双曲线⇔双曲线的离心率e＝⇔双曲线的两条渐近线互相垂直(位置关系)． (4)过双曲线的一个焦点且与实轴垂直的弦的长为. (5)过双曲线焦点F1的弦AB与双曲线交在同支上，则AB与另一个焦点F2构成的△ABF2的周长为4a＋2|AB|. [自主诊断] ◆[思考辨析] 　判断下列说法是否正确，正确的在它后面的括号里打“√”，错误的打“×”． (1)平面内到点F1(0,3)，F2(0，－3)距离之差等于4的点的轨迹是双曲线．(　　 ) (2)平面内到点F1(0,3)，F2(0，－3)距离之差的绝对值等于6的点的轨迹是双曲线．(　　 ) (3)等轴双曲线的渐近线互相垂直，离心率等于.(　　 ) (4)方程－＝1(mn＞0)表示焦点在x轴上的双曲线．(　　 ) (5)双曲线方程－＝λ(m>0，n>0，λ≠0)的渐近线方程是－＝0，即±＝0.(　　 ) (6)若双曲线－＝1(a>0，b>0)与－＝1(a>0，b>0)的离心率分别是e1，e2，则＋＝1(此结论中两条双曲线为共轭双曲线)．(　　) 答案：(1)×　(2)×　(3)√　(4)×　(5)√　(6)√ ◆[小题查验] 1．设F1，F2是双曲线C：x2－＝1的两个焦点，O为坐标原点，点P在C上且|OP|＝2，则△PF1F2的面积为(　　) A.　　 B．3　　　 C.　　 D．2 解析：B　[由题知a＝1，b＝，c＝2，F1(－2,0)，F2(2,0)，因为|PO|＝2，故点P在以F1，F2为直径的圆上，故PF1⊥PF2，则|PF1|2＋|PF2|2＝(2c)2＝16.由双曲线定义知||PF1|－|PF2||＝2a＝2，所以|PF1|2＋|PF2|2－2|PF1||PF2|＝4，所以|PF1||PF2|＝6，所以△PF1F2的面积为|PF1||PF2|＝3，答案选B.] 2．(2023·张掖市一模)已知双曲线－＝1的实轴长为8，则该双曲线的渐近线的斜率为(　　) A．± B．± C．± D．± 解析：C　[双曲线－＝1的实轴长为8，可得：m2＋12＝16，解得m＝2，m＝－2(舍去)．所以，双曲线的渐近线方程为：±＝0.则该双曲线的渐近线的斜率为±.故选C.] 3．已知双曲线－＝1(a＞0，b＞0)的左、右焦点分别为F1，F2