第7章 第5节 椭 圆-【创新教程】2024高考数学总复习大一轮教师用书word（新教材，人教B版）

第5节　椭　圆 最新课程标准 教师专享 核心素养 考情聚焦 1.了解椭圆的实际背景，了解椭圆在刻画现实世界和解决实际问题中的作用． 2．掌握椭圆的定义、几何图形、标准方程及简单几何性质 1.椭圆的定义及标准方程的掌握，达成数学抽象和直观想象的素养． 2．椭圆的几何性质的应用，增强直观想象、逻辑推理和数学运算的素养． 3．直线与椭圆的位置关系，提升逻辑推理和数学运算的素养 　　椭圆的定义、标准方程、几何性质以及椭圆与其他知识的综合应用是高考命题的热点，常与直线、向量、三角等知识交汇考查，考查学生的分析问题、解决问题的能力．三种题型都有可能出现，选择题、填空题一般为中低档题型，解答题为高档题．做题时要充分利用函数与方程思想、转化与化归思想、数形结合等数学思想的运用 [必备知识] 1．椭圆的定义 (1)定义：如果F1，F2是平面内的两个定点，a是一个常数，且2a＞|F1F2|，则平面内满足　|PF1|＋|PF2|＝2a　的动点P的轨迹称为椭圆． (2)相关概念：两个定点F1，F2称为椭圆的　焦点　，两个焦点之间的距离|F1F2|称为椭圆的　焦距　. (3)2a与|F1F2|的大小关系所确定的点的轨迹如下表： 条件 结论 2a＞|F1F2| 动点的轨迹是椭圆 2a＝|F1F2| 动点的轨迹是线段F1F2 2a＜|F1F2| 动点不存在，因此轨迹不存在 2.椭圆的标准方程和几何性质 图形 标准方程 ＋＝1(a＞b＞0) ＋＝1(a＞b＞0) 性质 范围 　－a　≤x≤　a　 　－b　≤y≤　b　 　－b　≤x≤　b　 　－a　≤y≤　a　 对称性 对称轴：　坐标轴　 对称中心：　原点　 顶点 A1　(－a,0)　，A2　(a,0)　 B1　(0，－b)　，B2　(0，b)　 A1　(0，－a)　，A2　(0，a)　 B1　(－b,0)　，B2　(b,0)　 轴 长轴A1A2的长为　2a　 短轴B1B2的长为　2b　 焦距 |F1F2|＝2c 离心率 e＝∈　(0,1)　 a，b，c 的关系 a2＝　b2＋c2　 椭圆的常用性质 (1)设椭圆＋＝1(a>b>0)上任意一点P(x，y)，则当x＝0时，|OP|有最小值b，P点在短轴端点处；当x＝±a时，|OP|有最大值a，P点在长轴端点处． (2)椭圆的一个焦点、中心和短轴的一个端点构成直角三角形，其中a为斜边，a2＝b2＋c2. (3)已知过焦点F1的弦AB，则△ABF2的周长为4a. [自主诊断] ◆[思考辨析] 　判断下列说法是否正确，正确的在它后面的括号里打“√”，错误的打“×”． (1)平面内与两个定点F1，F2的距离之和等于常数的点的轨迹是椭圆．(　　 ) (2)动点P到两定点A(0，－2)，B(0,2)的距离之和为4，则点P的轨迹是椭圆．(　　 ) (3)椭圆上一点P与两焦点F1，F2构成△PF1F2的周长为2a＋2c(其中a为椭圆的长半轴长，c为椭圆的半焦距)．(　　 ) (4)椭圆的离心率e越大，椭圆就越圆．(　　 ) (5)椭圆既是轴对称图形，又是中心对称图形．(　　 ) (6)方程mx2＋ny2＝1(m>0，n>0，m≠n)表示的曲线是椭圆．(　　 ) 答案：(1)×　(2)×　(3)√　(4)×　(5)√　(6)√ ◆[小题查验] 1．(2023·长春市模拟)如图所示，A是圆O内一定点，B是圆周上一个动点，AB的中垂线CD与OB交于点E，则点E的轨迹是(　　) A．圆　 B．椭圆　 C．双曲线　 D．抛物线 解析：B　[由题意知，|EA|＋|EO|＝|EB|＋|EO|＝r(r为圆的半径)且r>|OA|，故E的轨迹为以O，A为焦点的椭圆，故选B.] 2．(2023·北京东城区模拟)过椭圆4x2＋y2＝1的一个焦点F1的直线与椭圆交于A，B两点，则A与B和椭圆的另一个焦点F2构成的△ABF2的周长为(　　 ) A．2　　 B．4　　 C．8　　 D．2 解析：B　[因为椭圆方程为4x2＋y2＝1，所以a＝1.根据椭圆的定义，知△ABF2的周长为|AB|＋|AF2|＋|BF2|＝|AF1|＋|BF1|＋|AF2|＋|BF2|＝(|AF1|＋|AF2|)＋(|BF1|＋|BF2|)＝4a＝4.] 3．(2022·全国甲卷，10)椭圆C：＋＝1(a＞b＞0)的左顶点为A，点P，Q均在C上，且关于y轴对称，若直线AP，AQ的斜率之积为，则C的离心率为(　　) A. B. C. D. 解析：A　[椭圆C的右顶点为B，由于点P，Q均在C上，且关于y轴对称，所以直线BP，AQ也关于y轴对称，即kAP·kBP＝－kAP·kAQ＝－＝e2－1，e2＝，∴e＝，故选A.] 4．