第7章 第3节 圆的方程-【创新教程】2024高考数学总复习大一轮教师用书word（新教材，人教B版）

第3节　圆的方程 最新课程标准 教师专享 核心素养 考情聚焦 掌握确定圆的几何要素，掌握圆的标准方程与一般方程 1.确定圆的方程，达成直观想象、数学建模和数学运算的素养． 2．与圆有关的最值，增强数学建模和数学运算的素养． 3．与圆有关的轨迹问题，提升逻辑推理和数学抽象的素养 圆的方程、与圆有关的最值问题、与圆有关的轨迹问题是近几年高考中的热点．常与直线、椭圆、抛物线等知识结合考查．题型以选择题、填空题，有时以解答题第一题形式出现，一般难度不会太大，属中低档题型，要合理转化，必要时借助几何意义，三角换元求解 [必备知识] 1．圆的定义和圆的方程 定义 平面内到　定点　的距离等于　定长　的点的集合叫做圆 方程 标准方程 一般方程 (x－a)2＋(y－b)2 ＝r2(r＞0) x2＋y2＋Dx＋Ey＋F ＝0(D2＋E2－4F＞0) 圆心坐标 (a，b) 半径 r 充要条件 　D2＋E2－4F＞0　 2.点与圆的位置关系 平面上的一点M(x0，y0)与圆C：(x－a)2＋(y－b)2＝r2之间存在着下列关系： (1)d＞r⇔M在圆外，即(x0－a)2＋(y0－b)2＞r2⇔M在　圆外　； (2)d＝r⇔M在圆上，即(x0－a)2＋(y0－b)2＝r2⇔M在　圆上　； (3)d＜r⇔M在圆内，即(x0－a)2＋(y0－b)2＜r2⇔M在　圆内　. 1．圆的三个性质 (1)圆心在过切点且垂直于切线的直线上； (2)圆心在任一弦的中垂线上； (3)两圆相切时，切点与两圆心三点共线． 2．两个圆系方程 具有某些共同性质的圆的集合称为圆系，它们的方程叫圆系方程． (1)同心圆系方程：(x－a)2＋(y－b)2＝r2(r>0)，其中a，b为定值，r是参数； (2)半径相等的圆系方程：(x－a)2＋(y－b)2＝r2(r>0)，其中r为定值，a，b是参数． [自主诊断] ◆[思考辨析] 　判断下列说法是否正确，正确的在它后面的括号里打“√”，错误的打“×”． (1)确定圆的几何要素是圆心与半径．(　　) (2)方程(x＋a)2＋(y＋b)2＝t2(t∈R)表示圆心为(a，b)，半径为t的一个圆．(　　) (3)方程x2＋y2＋4mx－2y＋5m＝0表示圆．(　　) (4)已知点A(x1，y1)，B(x2，y2)，则以AB为直径的圆的方程是(x－x1)(x－x2)＋(y－y1)(y－y2)＝0.(　　) (5)方程Ax2＋Bxy＋Cy2＋Dx＋Ey＋F＝0表示圆的充要条件是A＝C≠0，B＝0，D2＋E2－4F>0.(　　) 解析：(3)当(4m)2＋(－2)2－4×5m＞0，即m＜或m＞1时才表示圆． 答案：(1)√　(2)×　(3)×　(4)√　(5)√ ◆[小题查验] 1．(2022·北京卷，3)若直线2x＋y－1＝0是圆(x－a)2＋y2＝1的一条对称轴，则a＝(　　) A.　　 B．－　　 C．1　　 D．－1 解析：A　[若直线是圆的对称轴，则直线过圆心，圆心坐标(a,0)，所以由2a＋0－1＝0，解得a＝.] 2．(2023·西城区模拟)若坐标原点在圆(x－m)2＋(y＋m)2＝4的内部，则实数m的取值范围是(　　) A．(－1,1) B．(－，) C．(－，) D. 解析：C　[∵(0,0)在(x－m)2＋(y＋m)2＝4的内部，则有(0－m)2＋(0＋m)2<4，解得－<m<，选C.] 3．圆(x＋1)2＋y2＝2的圆心到直线y＝x＋3的距离为(　　) A．1　　 B．2　　　C.　　 D．2 解析：C　[由题知圆心坐标为(－1,0)，将直线y＝x＋3化成一般形式为x－y＋3＝0，故圆心到直线的距离d＝＝.故选C. ] 4．圆C的圆心在x轴上，并且过点A(－1,1)和B(1,3)，则圆C的方程为　____________________　. 解析：设圆心坐标为C(a,0)， ∵点A(－1,1)和B(1,3)在圆C上，∴|CA|＝|CB|， 即＝， 解得a＝2，∴圆心为C(2,0)， 半径|CA|＝＝， ∴圆C的方程为(x－2)2＋y2＝10. 答案：(x－2)2＋y2＝10 5．已知实数x，y满足(x－2)2＋y2＝4，则3x2＋4y2的最大值为　________　. 解析：由(x－2)2＋y2＝4，得y2＝4x－x2≥0，得0≤x≤4，所以3x2＋4y2＝3x2＋4(4x－x2)＝－x2＋16x＝－(x－8)2＋64(0≤x≤4)，所以当x＝4时，3x2＋4y2取得最大值48. 答案：48 　确定圆的方程(基础点) 1．圆心在直线x－2y－3＝0上，且过点A(2，－3)，B(－2，－5)的圆的方程为　____________　. 解析：法一：(几何法)设点C为