第6章 核心素养系列(四) 立体几何高考中档大题的规范答题策略-【创新教程】2024高考数学总复习大一轮教师用书word（新教材，人教B版）

　 (四)　立体几何高考中档大题的规范答题策略 1．立体几何是高考的重要内容，每年基本上都是一个解答题，一至两道选择题或填空题．小题主要考查学生的空间观念，空间想象能力及简单计算能力．解答题主要采用“论证与计算”相结合的模式，即首先是利用定义、定理、公理等证明空间的线线、线面、面面平行或垂直，再利用空间向量进行空间角的计算．重在考查学生的逻辑推理能力及计算能力．热点题型主要有平面图形的翻折、探索性问题等； 2．思想方法：(1)转化与化归(空间问题转化为平面问题)；(2)数形结合(根据空间位置关系利用向量转化为代数运算)． [热点1]　空间点、线、面的位置关系及空间角的计算(规范解答)　 [例1]　如图，在以A，B，C，D，E，F为顶点的五面体中，面ABEF为正方形，AF＝2FD，∠AFD＝90°，且二面角D－AF－E与二面角C－BE－F都是60°. (1)证明：平面ABEF⊥平面EFDC； (2)求二面角E－BC－A的余弦值． ◆[学审题]　(1)欲证平面ABEF⊥平面EFDC，只需证明AF⊥平面EFDC，只需在平面EFDC内找两条相交直线与AF垂直；(2)建立空间直角坐标系，分别求平面BCE与平面ABCD的法向量，再求出两法向量夹角的余弦值，借助图形，即可得二面角E－BC－A的余弦值． ◆[学规范] [解]　(1)证明：由已知可得AF⊥DF，AF⊥FE，又DF∩FE＝F，所以AF⊥平面EFDC. 又AF⊂平面ABEF，故平面ABEF⊥平面EFDC. (2)过D作DG⊥EF，垂足为G，由(1)知DG⊥平面ABEF.以G为坐标原点，的方向为x轴正方向，||为单位长，建立如图所示的空间直角坐标系G－xyz. 由(1)知∠DFE为二面角D－AF－E的平面角，故∠DFE＝60°，则DF＝2，DG＝，可得A(1,4,0)， B(－3,4,0)，E(－3,0,0)，D(0,0，)． 由已知，AB∥EF，所以AB∥平面EFDC. 又平面ABCD∩平面EFDC＝CD，故AB∥CD，CD∥EF.由BE∥AF，可得BE⊥平面EFDC，所以∠CEF为二面角C－BE－F的平面角，∠CEF＝60°.从而可得C(－2,0，)．连接AC，则＝(1,0，)，＝(0,4,0)，＝(－3，－4，)，＝(－4,0,0)． 设n＝(x，y，z)是平面BCE的法向量，则 即则可取n＝(3,0，－)． 设m是平面ABCD的法向量，则 同理可取m＝(0，，4)． 则cos〈n，m〉＝＝－. 故二面角E－BC－A的余弦值为－. ◆[防失误]　(1)利用向量求角是高考的热点，几乎每年必考，主要是突出向量的工具性作用． (2)本题易错点是在建立坐标系时不能明确指出坐标原点和坐标轴，导致建系不规范． (3)将向量的夹角转化成空间角时，要注意根据角的概念和图形特征进行转化，否则易错． ◆[通技法]　利用向量求空间角的步骤 第一步：建立空间直角坐标系； 第二步：确定点的坐标； 第三步：求向量(直线的方向向量、平面的法向量)坐标； 第四步：计算向量的夹角(或函数值)； 第五步：将向量夹角转化为所求的空间角； 第六步：反思回顾．查看关键点、易错点和答题规范． 1.(2023·山东押题卷)如图，四面体ABCD中，△ABC是正三角形，△ACD是直角三角形，∠ABD＝∠CBD，AB＝BD. (1)证明：平面ACD⊥平面ABC； (2)过AC的平面交BD于点E，若平面AEC把四面体ABCD分成体积相等的两部分，求二面角D－AE－C的余弦值． 解：(1)证明：由题设可得，△ABD≌△CBD，从而AD＝DC又△ACD是直角三角形，所以∠ADC＝90°， 取AC的中点O，连接DO，BO，则DO⊥AC，DO＝AO. 又由于△ABC是正三角形，故BO⊥AC， 所以∠DOB为二面角D－AC－B的平面角， 在Rt△AOB中，BO2＋AO2＝AB2， 又AB＝BD，所以BO2＋DO2＝BO2＋AO2＝AB2＝BD2，故∠DOB＝90°， 所以平面ACD⊥平面ABC. (2)由题设及(1)知，OA，OB，OD两两垂直，以O为坐标原点，的方向为x轴正方向，||为单位长， 建立如图所示的空间直角坐标系O－xyz，则 A(1,0,0)，B(0，，0)，C(－1,0,0)，D(0,0,1)． 由题设知，四面体ABCE的体积为四面体ABCD的体积的，从而E到平面ABC的距离为D到平面ABC的距离的，即E为DB的中点， 得E.故＝(－1,0,1)，＝(－2,0,0)，＝. 设n＝(x，y，z)是平面DAE的法向量，则 即 可取n＝. 设m是平面AEC的法向量，则 同理可得m＝(0，－1，)， 则cos〈n，m〉＝＝. 所以二面角D－AE－C的余弦值为. [热点2]　立体几何中的折叠问题　 [例2]　(2023·房山区模拟