第6章 第5节 空间中的垂直关系-【创新教程】2024高考数学总复习大一轮教师用书word（新教材，人教B版）

第5节　空间中的垂直关系 最新课程标准 教师专享 核心素养 考情聚焦 1.以立体几何的定义、公理和定理为出发点，认识和理解空间中线面垂直的有关性质与判定定理． 2．能运用公理、定理和已获得的结论证明一些空间图形的垂直关系的简单命题 1.垂直关系的基本问题，达成直观想象、逻辑推理的素养． 2．直线与平面垂直的判定与性质及平面与平面垂直的判定与性质的理解与运用，增强直观想象、逻辑推理和数学抽象的素养． 3．线面角与二面角的求解， 提升逻辑推理和数学运算的素养 　　2024年高考证明垂直的题型预计有两类： 1．线面垂直的判定与证明． 2．利用线面垂直性质证明线面垂直或面面垂直．是高考重点考查内容，主要以解答题形式出现，属中低档题型． 3．证明垂直问题可以用常规法证明，也可以通过建立空间直角坐标系，利用向量数量积证明 [必备知识] 1．直线与平面垂直 (1)直线和平面垂直的定义 如果一条直线l与平面α内的　任意　直线都垂直，就说直线l与平面α互相垂直． (2)判定定理与性质定理 文字语言 图形表示 符号表示 判定定理 如果一条直线与一个平面内的　两条相交直线　垂直，则这条直线与这个平面垂直 性质定理 如果两条直线垂直于同一个平面，那么这两条直线　平行　 2.直线与平面所成的角 (1)垂线段、斜线段：如果A是平面α外一点，B是平面α内一点，则AB⊥α时，　AB　是平面α的垂线段．如果C是平面α内一点，且AC与α不垂直，则称　AC　是平面α的斜线段(相应地，直线AC称为平面α的斜线)，称C为　斜足　.如图所示． (2)直线与平面所成的角：如图，AB是平面α的垂线段，AC是平面α的斜线段，直线BC称为直线AC在平面α内的射影，∠ACB称为直线AC与平面α所成的角．如图所示． (3)一条直线垂直于平面，我们说它们所成的角等于　90°　；一条直线和平面平行，或在平面内，我们说它们所成的角等于　0°　.因此，直线与平面所成的角的范围是　_[0°，90°]　. 3．二面角 (1)定义：从一条直线出发的两个　半平面　所组成的图形称为二面角，这条直线称为二面角的　棱　，这两个半平面称为二面角的　面　. (2)图形表示： (3)记法：以AB为棱，α和β为半平面的二面角，通常记作二面角　α－AB－β　.如果C和D分别是半平面α和β内的点，也可记作　C－AB－D　. (4)二面角的平面角：在二面角α－l－β的棱上任取一点O，以O为垂足，分别在半平面α和β内作垂直于棱的射线OA和OB，则射线OA和OB所成的角称为二面角的平面角． 如图，O∈l，OA⊂α，OB⊂β，OA⊥l，OB⊥l二面角α－l－β的平面角是　∠AOB　. (5)二面角的平面角的取值范围：　0°≤θ≤180°　.平面角是直角的二面角称为直二面角． (6)平面与平面所成的角：一般地，两个平面相交时，它们所成角的大小，指的是它们所形成的4个二面角中，　不大于90°　的角的大小．范围为0°＜θ≤90°. 4．平面与平面垂直 (1)定义：一般地，如果两个平面α与β所成角的大小为90°，则称这两个平面互相垂直，记作α⊥β. 画法： (2)判定定理与性质定理 文字语言 图形表示 符号表示 判定 定理 如果一个平面经过另外一个平面的一条　垂线　，则这两个平面互相垂直 性质 定理 如果两个平面互相垂直，那么在一个平面内垂直于它们　交线　的直线垂直于另一个平面 1．若一条直线垂直于一个平面，则这条直线垂直于这个平面内的任意直线． 2．若两条平行线中的一条垂直于一个平面，则另一条也垂直于这个平面． 3．垂直于同一条直线的两个平面平行． 4．过一点有且只有一条直线与已知平面垂直． 5．过一点有且只有一个平面与已知直线垂直． [自主诊断] ◆[思考辨析] 　判断下列说法是否正确，正确的在它后面的括号里打“√”，错误的打“×”． (1)l与平面α内的两条直线垂直，则直线l⊥平面α.(　　) (2)垂直于同一个平面的两平面平行．(　　) (3)若两条直线与一个平面所成的角相等，则这两条直线平行．(　　) (4)当α⊥β时，直线l过α内一点且与交线垂直，则l⊥β.(　　) (5)若两个平面垂直，则其中一个平面内的任意一条直线垂直于另一个平面．(　　) 答案：(1)×　(2)×　(3)×　(4)×　(5)× ◆[小题查验] 1．下列命题中不正确的是(　　) A．如果平面α⊥平面β，且直线l∥平面α，则直线l⊥平面β B．如果平面α⊥平面β，那么平面α内一定存在直线平行于平面β C．如果平面α不垂直于平面β，那么平面α内一定不存在直线垂直于平面β D．如果平面α⊥平面γ，平面β⊥平面γ，α∩β＝l，那么l⊥γ 解析：A　[根据面面垂直的性质