第6章 第2节 空间几何体的表面积与体积-【创新教程】2024高考数学总复习大一轮教师用书word（新教材，人教B版）

第2节　空间几何体的表面积与体积 最新课程标准 教师专享 核心素养 考情聚焦 了解球、棱柱、棱锥、台的表面积和体积的计算公式 1.空间几何体的表面积与侧面积、体积公式的学习与运用，达成直观想象、数学抽象和数学运算的素养． 2．球与空间几何体的接、切问题，提升直观想象和数学运算的素养 　　本部分是高考的重点内容，涉及空间几何体的表面积与体积计算等内容，命题形式以选择题、填空题为主，主要考查空间几何体的表面积、体积的计算等问题，解题要求有较强的空间想象能力和计算能力，广泛应用转化与化归思想 [必备知识] 1．常见几何体的侧面展开图 名称 侧面展开图 侧面展开图 棱柱 矩形 圆柱 矩形 棱锥 　共顶点的三角形　 圆锥 扇形 棱台 　若干个小梯形　 圆台 　扇环　 2.常见旋转体的表(侧)面积 名称 图形 表面积 侧面积 圆柱 　S＝2πr2＋2πrl＝2πr(r＋l)　 S侧＝　2πrl　 圆锥 　S＝πr2＋πrl＝πr(r＋l)　 S侧＝　πrl　 圆台 S＝　π(r′2＋r2＋r′l＋rl)　 S侧＝　π(r＋r′)l　 球 S＝　4πr2　 3.祖暅原理 (1)祖暅原理：幂势既同，则积不容异． (2)含义：夹在两个平行平面间的两个几何体，如果被平行于这两个平面的任意平面所截，两个截面的面积总相等，那么这两个几何体的体积一定相等．如图所示． 4．常见空间几何体的体积公式 (1)设棱(圆)柱的底面积为S，高为h，则体积V＝Sh. (2)设棱(圆)锥的底面积为S，高为h，则体积V＝Sh. (3)设棱(圆)台的上、下底面面积分别为S′，S，高为h，则体积V＝(S′＋＋S)h. (4)设球半径为R，则球的体积V＝πR3. 1．长方体的外接球 球心：体对角线的交点；半径：r＝(a，b，c为长方体的长、宽、高)． 2．正方体与球 (1)正方体的内切球：截面图为正方形EFHG的内切圆，如图所示．设正方体的棱长为a，则|OJ|＝r＝(r为内切球半径)． (2)与正方体各棱相切的球：截面图为正方形EFHG的外接圆，则|GO|＝R＝a. 3．正四面体与球 如图，设正四面体的棱长为a，内切球的半径为r，外接球的半径为R，取AB的中点为D，连接CD，SE为正四面体的高，在截面三角形SDC内作一个与边SD和DC相切，圆心在高SE上的圆．因为正四面体本身的对称性，内切球和外接球的球心同为O.此时，CO＝OS＝R，OE＝r，SE＝a，CE＝a，则有R＋r＝a，R2－r2＝|CE|2＝，解得R＝a，r＝a. 4．三条侧棱互相垂直的三棱锥的外接球 (1)如果三棱锥的三条侧棱互相垂直并且相等，则可以补形为一个正方体，正方体的外接球的球心就是三棱锥的外接球的球心．即三棱锥A1－AB1D1的外接球的球心和正方体ABCD－A1B1C1D1的外接球的球心重合．如图，设AA1＝a，则R＝a. (2)如果三棱锥的三条侧棱互相垂直但不相等，则可以补形为一个长方体，长方体的外接球的球心就是三棱锥的外接球的球心．R2＝＝(l为长方体的体对角线长)． [自主诊断] ◆[思考辨析] 　判断下列说法是否正确，正确的在它后面的括号里打“√”，错误的打“×”． (1)圆柱的一个底面积为S，侧面展开图是一个正方形，那么这个圆柱的侧面积是2πS.(　　) (2)设长方体的长、宽、高分别为2a，a，a，其顶点都在一个球面上，则该球的表面积为3πa2.(　　) (3)若一个球的体积为4π，则它的表面积为12π.(　　) (4)在△ABC中，AB＝2，BC＝3，∠ABC＝120°，使△ABC绕直线BC旋转一周所形成的几何体的体积为9π.(　　) (5)将圆心角为，面积为3π的扇形作为圆锥的侧面，则圆锥的表面积等于4π.(　　) (6)将边长为a的正方形ABCD沿对角线AC折起，使BD＝a，则三棱锥D－ABC的体积为a3.(　　) 答案：(1)×　(2)×　(3)√　(4)×　(5)√　(6)× ◆[小题查验] 1．圆台的一个底面周长是另一个底面周长的3倍，母线长为3，圆台的侧面积为84π，则圆台较小底面的半径为(　　) A．7　　 B．6　　 C．5　　 D．3 解析：A　[设圆台较小底面半径为r， 则另一底面半径为3r. 由S＝π(r＋3r)·3＝84π，解得r＝7.] 2．(2022·全国乙卷，9)已知球O的半径为1，四棱锥的顶点为O，底面的四个顶点均在球O的球面上，则当该四棱锥的体积最大时，其高为(　　) A. B. C. D. 解析：C　[同一圆面上，内接四边形为正方形时面积最大，假设底面是边长为a的正方形，底面所在圆面的半径为r，则r＝a，所以该四棱锥的高h