第5章 核心素养系列(三) 数列高考中档大题的规范问题-【创新教程】2024高考数学总复习大一轮教师用书word（新教材，人教B版）

(三)　数列高考中档大题的规范问题 数列是历年高考的热点，多从等差数列、等比数列这两个特殊的数列入手，考查两数列的概念、基本运算性质、通项公式、求和公式等，常以等差、等比数列综合命题，或与方程、函数与导数、不等式、解析几何等知识交汇命题，综合考查数列的通项、求和等问题． [热点1]　与等差、等比数列有关的条件选择开放题　 [典例1]　(2023·威海二模)从条件①2Sn＝(n＋1)an，②＋＝an(n≥2)，③an＞0，a＋an＝2Sn中任选一个，补充到下面问题中，并给出解答． 已知数列{an}的前n项和为Sn，a1＝1，　________　.若a1，ak，Sk＋2成等比数列，求k的值． ◆[学审题]　选择①2Sn＝(n＋1)an，可得2Sn＋1＝(n＋2)an＋1，相减可得：＝，可得：an及其Sk＋2.根据a1，ak，Sk＋2成等比数列，可得a＝a1·Sk＋2，解得k. 选择②＋＝an(n≥2)，变形得＋＝Sn－Sn－1＝(＋)(－)，Sn＞0，化为－＝1，利用等差数列的通项公式可得Sn. 可得n≥2时，an＝Sn－Sn－1，根据a1，ak，Sk＋2成等比数列，可得a＝a1·Sk＋2，解得k. 选择③an＞0，a＋an＝2Sn，可得a＋an＋1＝2Sn＋1，相减可得：an＋1－an＝1，利用等差数列的通项公式，求和公式可得an，Sn. 根据a1，ak，Sk＋2成等比数列，可得a＝a1·Sk＋2，解得k. [解]　选择①2Sn＝(n＋1)an，∴2Sn＋1＝(n＋2)an＋1，相减可得：2an＋1＝(n＋2)an＋1－(n＋1)an， ∴＝， ∴＝＝1，可得an＝n. ∴Sk＋2＝＝. ∵a1，ak，Sk＋2成等比数列， ∴a＝a1·Sk＋2，∴k2＝，k∈N＋，解得k＝6. 选择②＋＝an(n≥2)，变形得＋＝Sn－Sn－1＝(＋)(－)，Sn＞0，化为－＝1， ∴数列{}是等差数列，首项为1，公差为1， ∴＝1＋n－1＝n，解得Sn＝n2. ∴n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝n2－(n－1)2＝2n－1. ∴Sk＋2＝＝(k＋2)(k＋2) ∵a1，ak，Sk＋2成等比数列， ∴a＝a1·Sk＋2，∴(2k－1)2＝(k＋2)2，k∈N＋，解得k＝3. 选择③an＞0，a＋an＝2Sn，∴a＋an＋1＝2Sn＋1，相减可得：a＋an＋1－a－an＝2an＋1，化为：(an＋1＋an)·(an＋1－an－1)＝0， 可得：an＋1－an＝1， ∴数列{an}是首项与公差都为1的等差数列， ∴an＝1＋n－1＝n. ∴Sn＝， ∵a1，ak，Sk＋2成等比数列， ∴a＝a1·Sk＋2，∴k2＝，k∈N＋，解得k＝6. ◆[通技法]　本题为条件选择开放题，考查了等差数列与等比数列的通项公式、求和公式、数列递推关系，考查了推理能力与计算能力，属于中档题，解答此类题目应熟练掌握等差与等比数列的有关知识． 1．(2023·海南模拟)设M＝－3a3，N＝2a2，T＝a4，给出以下四种排序：①M，N，T；②M，T，N；③N，T，M；④T，N，M.从中任选一个，补充在下面的问题中，解答相应的问题． 已知等比数列{an}中的各项都为正数，a1＝1，且　________　依次成等差数列． (1)求{an}的通项公式； (2)设bn＝数列{bn}的前n项和为Sn，求满足Sn＞100bn的最小正整数n. 解：(解答一)选②或③： (1)设{an}的公比为q，则q＞0，由条件得2a4＝2a2－3a3， 又因为a1＝1，所以2q3＝2q－3q2，即2q2＋3q－2＝0， 解得q＝(负值舍去)，所以an＝. (2)由题意得bn＝，则Sn＝＝.由Sn＞100bn得＞，即2n＞101，又因为n∈N＋，所以n的最小值为7. (解答二)选①或④： (1)设{an}的公比为q，则q＞0； 由条件得4a2＝a4－3a3， 又因为a1＝1，所以4q＝q3－3q2，即q2－3q－4＝0， 解得q＝4(负值舍去)，所以an＝4n－1. (2)由题意得bn＝，则Sn＝＝.由Sn＞100bn得＞，即4n＞101， 又因为n∈N＋， 所以n的最小值为5. [热点2]　等差数列与等比数列的综合问题(规范解答)　 [典例2]　(本题满分12分)在公差为d的等差数列{an}中，已知a1＝10，且a1,2a2＋2,5a3成等比数列． (1)求d，an； (2)若d<0，求|a1|＋|a2|＋|a3|＋…＋|an|. ◆[学审题]　对等差数列{an}，求{|an|}的前n项和的题型，常先由Sn的最值判断出哪些项为正，哪些项为负，或先求出an，解an≥0的n的取值范围，判断出哪些项为正，哪些项为负． 若前k项为负，从k＋1项开始以后的项非负，则{|an|}的前n项和Tn＝若前k项为正