第5章 第4节 数列求和-【创新教程】2024高考数学总复习大一轮教师用书word（新教材，人教B版）

第4节　数列求和 最新课程标准 教师专享 核心素养 考情聚焦 1.熟练掌握等差、等比数列的前n项和公式． 2．掌握非等差数列、非等比数列求和的几种常见方法 1.公式法求和，达成数学抽象和数学运算素养． 2．分组转化法求和，发展逻辑推理和数学运算素养． 3．裂项相消法求和，提升逻辑推理和数学运算素养． 4．错位相减法求和，增强逻辑推理和数学运算素养 　　本节主要考查：(1)等差数列和等比数列的求和．(2)使用裂项法、错位相减法求和．(3)根据周期性、奇偶数项的不同的分组求和．一般以数列的基本问题为先导，在解决数列基本问题后考查数列求和，在求和后有时与不等式、函数、最值等问题综合．以解答题为主，难度中等或稍难 [必备知识] 　求数列的前n项和的方法 (1)公式法 ①等差数列的前n项和公式 Sn＝　　＝　na1＋d　. ②等比数列的前n项和公式 (ⅰ)当q＝1时，Sn＝　na1　； (ⅱ)当q≠1时，Sn＝　　＝　　. (2)分组转化法 把数列适当拆分，分为几个等差、等比数列，先分别求和，然后再合并，形如： ①{an±bn}，其中{an}是等差数列，{bn}是等比数列； ②an＝ (3)裂项相消法 把数列的通项拆成两项之差求和，正负相消，剩下首尾若干项． (4)倒序相加法 把数列分别正着写和倒着写再相加，即等差数列求和公式的推导过程的推广． (5)错位相减法 主要用于一个等差数列与一个等比数列对应项相乘所得的数列的求和，即等比数列求和公式的推导过程的推广．形如：{an·bn}，，其中{an}是等差数列，{bn}是等比数列． (6)并项求和法 一个数列的前n项和中，可两两结合求解，则称之为并项求和．形如an＝(－1)nf(n)类型，可采用两项合并求解．例如，Sn＝1002－992＋982－972＋…＋22－12＝(100＋99)＋(98＋97)＋…＋(2＋1)＝5 050. 　 一些常见数列的前n项和公式 (1)1＋2＋3＋4＋…＋n＝； (2)1＋3＋5＋7＋…＋(2n－1)＝n2； (3)2＋4＋6＋…＋2n＝n2＋n. [自主诊断] ◆[思考辨析] 　判断下列说法是否正确，正确的在它后面的括号里打“√”，错误的打“×”． (1)如果数列{an}为等比数列，且公比不等于1，则其前n项和Sn＝.(　　 ) (2)当n≥2时，＝.(　　 ) (3)求Sn＝a＋2a2＋3a3＋…＋nan之和时只要把上式等号两边同时乘以a即可根据错位相减法求得．(　　 ) (4)推导等差数列求和公式的方法叫做倒序求和法，利用此法可求得sin2 1°＋sin2 2°＋sin2 3°＋…＋sin2 88°＋sin2 89°＝44.5.(　　 ) (5)若Sn＝1－2＋3－4＋…＋(－1)n－1·n，则S50＝－25.(　　 ) 答案：(1)√　(2)√　(3)×　(4)√　(5)√ ◆[小题查验] 1．设首项为1，公比为的等比数列{an}的前n项和为Sn，则(　　 ) A．Sn＝2an－1　　　　 B．Sn＝3an－2 C．Sn＝4－3an D．Sn＝3－2an 解析：D　[可以直接利用等比数列的求和公式求解，也可以先求出通项和前n项和，再建立关系． 法一：在等比数列{an}中，Sn＝＝＝3－2an. 法二：在等比数列{an}中，a1＝1，q＝， ∴an＝1×n－1＝n－1. Sn＝＝3 ＝3＝3－2an.] 2．(2023·吕梁一模)已知Sn为数列{an}的前n项和，且a1＝1，an＋1＋an＝3×2n，则S100＝(　　) A．2100－3 B．2100－2 C．2101－3 D．2101－2 解析：D　[由an＋1＋an＝3×2n，得an＋1－2n＋1＝－(an－2n)． 又a1－21＝－1， 所以{an－2n}为首项为－1，公比为－1的等比数列，所以an－2n＝(－1)n， 即an＝2n＋(－1)n， 所以S100＝21＋22＋…＋299＋2100＋(－1)＋(－1)2＋…＋(－1)99＋(－1)100 ＝＋0＝2101－2.故选D.] 3．(2023·晋中1月调研)已知数列{an}，满足2a1＋3a2＋4a3＋…＋(n＋1)an＝n(n∈N*)，则a1a2＋a2a3＋a3a4＋…＋a98a99＝(　　) A.　　B.　　C.　　D. 解析：D　[因为2a1＋3a2＋4a3＋…＋(n＋1)an＝n，① 所以2a1＋3a2＋4a3＋…＋nan－1＝n－1(n≥2)，② ①－②得，(n＋1)an＝1(n≥2)，所以an＝(n≥2)， 而a1＝，适合上式，所以an＝(n∈N*)，an＋1＝(n∈N*)， anan＋1＝＝－， ∴a1a2＋a2a3＋a3a4＋…＋a98a99＝＋＋＋…＋＝－＝.故选D.] 4．已知数列{an}的通