第5章 第3节 等比数列-【创新教程】2024高考数学总复习大一轮教师用书word（新教材，人教B版）

第3节　等比数列 最新课程标准 教师专享 核心素养 考情聚焦 1.通过实例，理解等比数列的概念． 2．探索并掌握等比数列的通项公式与前n项和的公式． 3．能在具体的问题情境中，发现数列的等比关系，并能用有关知识解决相应的问题． 4．体会等比数列与指数函数的关系 1.等比数列的基本运算，达成逻辑推理和数学运算素养． 2．等比数列的判定与证明，发展数学抽象和数学运算素养． 3．等比数列的性质及应用，提升逻辑推理和数学运算素养 　　等比数列的定义、通项公式及前n项和公式，等比数列的性质，以及求a1、q、an、n、Sn的基本运算是高考的热点．高考考查形式多样，选择题、填空题主要考查等比数列的基本运算和性质，难度不大．在解答题中常与等差数列、数列求和等问题综合考查，难度中等 [必备知识] 1．等比数列的概念 (1)一般地，如果数列{an}从第2项起，每一项与它的前一项之比都等于同一个常数q，即＝q恒成立，则称{an}为等比数列，其中q称为等比数列的公比． (2)如果x，G，y是等比数列，那么称G为x与y的等比中项，其中G＝±. 2. 等比数列的通项公式及前n项和公式 (1)若等比数列{an}的首项为a1，公比是q，则其通项公式为an＝　a1qn－1　； 通项公式的推广：an＝amqn－m. (2)等比数列的前n项和公式：当q＝1时，Sn＝na1；当q≠1时，Sn＝　　＝. 推广：当q≠0,1时，{an}是等比数列⇔Sn＝Aqn－A(A为常数且A≠0)． 3．等比数列的性质 已知{an}是等比数列，Sn是数列{an}的前n项和． (1)若s＋t＝p＋q，则asat＝　apaq　，其中s，t，p，q∈N＋，特别地，若2s＝p＋q，则apaq＝a，其中p，s，q∈N＋. (2)等比数列{an}的单调性 当q＞1，a1＞0或0＜q＜1，a1＜0时，数列{an}是　递增　数列； 当q＞1，a1＜0或0＜q＜1，a1＞0时，数列{an}是　递减　数列； 当q＝1时，数列{an}是　常数列　. (3)相隔等距离的项组成的数列仍是等比数列，即ak，ak＋m，ak＋2m，…仍是等比数列，公比为　qm　(k，m∈N＋)． (4)当q≠－1，或q＝－1且n为奇数时，Sn，S2n－Sn，S3n－S2n仍成等比数列，其公比为　qn　. 等比数列的主要性质 设数列{an}是首项为a1，公比是q的等比数列，Sn是其前n项和． 1．若数列{an}，{bn}是两个项数相同的等比数列，则数列{ban}，{pan·qbn}和(其中b，p，q是非零常数)也是等比数列． 2．Sm＋n＝Sn＋qnSm＝Sm＋qmSn. 3．若a1·a2·…·an＝Tn，则Tn，，，…成等比数列． 4．若数列{an}的项数为2n，则＝q；若项数为2n＋1，则＝q. 5．等比数列{an}的单调性 当或时，{an}为递增数列，当或时，{an}为递减数列． [自主诊断] ◆[思考辨析] 　判断下列说法是否正确，正确的在它后面的括号里打“√”，错误的打“×”． (1)若一个数列从第2项起每一项与它的前一项的比都是常数，则这个数列是等比数列．(　　 ) (2)三个数a，b，c成等比数列的充要条件是b2＝ac.(　　 ) (3)满足an＋1＝qan(n∈N＋，q为常数)的数列{an}为等比数列．(　　 ) (4)如果{an}为等比数列，bn＝a2n－1＋a2n，则数列{bn}也是等比数列．(　　) (5)如果数列{an}为等比数列，则数列{ln an}是等差数列．(　　) 答案：(1)×　(2)×　(3)×　(4)×　(5)× ◆[小题查验] 1．(2022·全国乙卷，8)已知等比数列{an}的前3项和为168，a2－a5＝42，则a6＝(　　) A．14　　 B．12　　 C．6　　 D．3 解析：D　[设等比数列{an}首项为a1，公比为q，由题意，即， 即，解得q＝，a1＝96，所以a6＝a1q5＝3，故选D.] 2．我国古代数学名著《算法统宗》中有如下问题：“远望巍巍塔七层，红光点点倍加增，共灯三百八十一，请问尖头几盏灯？”意思是：一座7层塔共挂了381盏灯，且相邻两层中的下一层灯数是上一层灯数的2倍，则塔的顶层共有灯(　　 ) A．1盏 B．3盏 C．5盏 D．9盏 解析：B　[设顶层灯数为a1，q＝2 ，S7＝＝381，解得a1＝3.] 3．已知{an}为等比数列，a4＋a7＝2，a5a6＝－8，则a1＋a10等于(　　 ) A．7 B．5 C．－5 D．－7 解析：D　[法一：由题意得 ∴或∴a1＋a10＝a1(1＋q9)＝－7. 法二：由解得或 ∴或 ∴a1＋a10＝a1(1＋q9)＝－7.] 4．在9与243中间插入两个数，使它们同这两个数成等比数列，则这两