第5章 第1节 数列基础-【创新教程】2024高考数学总复习大一轮教师用书word（新教材，人教B版）

第1节　数列基础 最新课程标准 教师专享 核心素养 考情聚焦 1.了解数列的概念和几种简单的表示方法(列表、图像、通项公式)． 2．了解数列是自变量为正整数的一类特殊函数． 3．了解数列的递推关系和前n项和 1.由数列的前几项求数列的通项公式，达成数学抽象素养． 2．由an与Sn的关系求通项an，发展逻辑推理和数学运算素养 3．由数列的递推关系求数列的通项公式，增强逻辑推理和数学运算素养 　　简单数列的通项公式的求解，数列的前n项和与通项的关系，求数列的各项，及由Sn求an是高考的热点．高考中三种题型都有可能出现，试题难度中等 [必备知识] 1．数列的概念 (1)数列的定义：按照　一定顺序　排列的一列数称为数列，数列中的每一个数都称为这个数列的　项　. (2)数列与函数的关系：数列{an}可以看成定义域为正整数集的子集的函数，数列中的数就是自变量从小到大依次取正整数值时对应的函数值． (3)数列有三种表示法，它们分别是　列表法　、　图像法　和　通项公式法　. 2．数列的分类 分类原则 类型 满足条件 按项数分类 有穷数列 项数　有限　 无穷数列 项数　无限　 按项与项间的大小关系分类 递增数列 an＋1>an 其中n∈N＋ 递减数列 an＋1<an 常数列 an＋1＝an 按其他标准分类 有界数列 存在正数M，使|an|≤M 摆动数列 从第二项起，有些项大于它的前一项，有些项小于它的前一项的数列 3.数列的两种常用的表示方法 (1)通项公式：如果数列的第n项an与　n　之间的关系可以用　an＝f(n)　来表示，其中f(n)是关于n的不含其他未知数的表达式，则称上述关系式为这个数列的通项公式． (2)递推公式：如果已知数列的首项(或前n项)，且数列的相邻两项或两项以上的关系都可以用一个公式来表示，则称这个公式为数列的递推关系(也称为递推公式或递归公式)． 4．数列的前n项和 (1)定义：一般地，给定数列{an}，称Sn＝a1＋a2＋a3＋…＋an为数列{an}的前n项和． (2)已知数列{an}的前n项和Sn，则an＝ 1．一些常见数列的通项公式 (1)数列1,2,3,4，…的通项公式为an＝n； (2)数列2,4,6,8，…的通项公式为an＝2n； (3)数列1,3,5,7，…的通项公式为an＝2n－1； (4)数列1,2,4,8，…的通项公式为an＝2n－1； (5)数列1,4,9,16，…的通项公式为an＝n2； (6)数列1，，，，…的通项公式为an＝. (7)数列1，－1,1，－1，…的通项公式为an＝(－1)n－1或(－1)n＋1； (8)数列－1,1，－1,1，…的通项公式为an＝(－1)n. 2．典型的递推数列及处理方法 递推式 方法 示例 an＋1＝an＋f(n) 累加法 a1＝1， an＋1＝an＋2n an＋1＝anf(n) 累乘法 a1＝1，an＋1 ＝2nan an＋1＝pan＋ q(p≠0,1，q≠0) 化为等 比数列 a1＝1， an＋1＝2an＋1 an＋1＝pan＋q·pn＋1 (p≠0,1，q≠0) 化为等 差数列 a1＝1，an＋1 ＝3an＋3n＋1 其中(1)an＋1＝pan＋q(p≠0,1，q≠0)的求解方法是：设an＋1＋λ＝p(an＋λ)，即an＋1＝pan＋pλ－λ，与an＋1＝pan＋q比较即可知只要λ＝. (2)an＋1＝pan＋q·pn＋1(p≠0,1，q≠0)的求解方法是两端同时除以pn＋1，即得－＝q，数列为等差数列． [自主诊断] ◆[思考辨析] 　判断下列说法是否正确，正确的在它后面的括号里打“√”，错误的打“×”． (1)1,1,1,1，…不能构成一个数列．(　　 ) (2)任何一个数列不是递增数列，就是递减数列．(　　 ) (3)所有数列的第n项都能使用公式表达．(　　 ) (4)根据数列的前几项归纳出的数列的通项公式可能不止一个．(　　 ) (5)已知an＋2＝f(an＋1，an)时，如果要确定这个数列，则必须知道初始值a1，a2.(　　 ) (6)如果数列{an}的前n项和为Sn，则对∀n∈N＋，都有an＋1＝Sn＋1－Sn.(　　 ) 答案：(1)×　(2)×　(3)×　(4)√　(5)√　(6)√ ◆[小题查验] 1．(2023·长沙市模拟)已知数列的前4项为2,0,2,0，`则依此归纳该数列的通项不可能是(　　 ) A．an＝(－1)n－1＋1　 B．an＝ C．an＝2sin D．an＝cos(n－1)π＋1 解析：C　[对n＝1,2,3,4进行验证，an＝2sin不合题意，故选C.] 2．已知数列的通项公式为an＝n2－8n＋15