第4章 第4节 复 数-【创新教程】2024高考数学总复习大一轮教师用书word（新教材，人教B版）

第4节　复　数 最新课程标准 教师专享 核心素养 考情聚焦 1.复数的概念 (1)通过方程的解，认识复数． (2)理解复数的代数表示及其几何意义，理解两个复数相等的含义． 2．复数的运算 掌握复数代数表示式的四则运算，了解复数加、减运算的几何意义 1.复数的有关概念，达成数学抽象和数学运算素养． 2．复数的几何意义，提升直观想象和数学运算素养． 3．复数的四则运算，增强数学运算素养 　　复数的有关概念及代数形式的运算是高考命题的热点之一，重点考查对复数概念的辨析、理解能力和复数四则运算的计算、求解能力，题型一般为选择题，难度较小，属于低档题 [必备知识] 1．复数的有关概念 内容 意义 备注 复数的 概念 当a与b都是实数时，称a＋bi为复数，复数用z表示，即z＝a＋bi(a，b∈R)，其中实部为　a　，虚部为　b　 若b＝0，则a＋bi为实数；若a＝0且b≠0，则a＋bi为纯虚数 复数相等 a＋bi＝c＋di⇔　a＝c且b＝d　(a，b，c，d∈R) 共轭复数 如果两个复数的实部相等，而虚部互为相反数，则称这两个复数互为共轭复数，当z＝a＋bi(a，b∈R)时，有＝a－bi 复平面 建立平面直角坐标系来表示复数的平面叫做复平面，　x轴　叫实轴，y轴叫虚轴 实轴上的点都表示实数；除了原点外，虚轴上的点都表示纯虚数，各象限内的点都表示虚数 复数的模 设对应的复数为＝a＋bi，则向量的长度叫做复数z＝a＋bi的模 |z|＝|a＋bi|＝　　 2.复数的几何意义 复数集C和复平面内所有的点组成的集合是一一对应的，复数集C与复平面内所有以原点O为起点的向量组成的集合也是一一对应的，即 (1)复数z＝a＋bi一一对应复平面内的点　Z(a，b)　(a，b∈R)． (2)复数z＝a＋bi(a，b∈R)平面向量. 3．复数的运算 (1)运算法则：设z1＝a＋bi，z2＝c＋di，a，b，c，d∈R. (2)几何意义：复数加减法可按向量的平行四边形或三角形法则进行． 如图给出的平行四边形OZ1ZZ2可以直观地反映出复数加减法的几何意义，即＝＋，＝－. 4．实系数一元二次方程在复数范围内的解集． 当a，b，c都是实数且a≠0时，关于x的方程ax2＋bx＋c＝0称为实系数一元二次方程，这个方程在复数范围内总是有解的，而且 (1)当Δ＝b2－4ac＞0时，方程有两个不相等的实数根； (2)当Δ＝b2－4ac＝0时，方程有两个相等的实数根； (3)当Δ＝b2－4ac＜0时，方程有两个互为共轭的虚数根； (4)如果x1，x2是方程ax2＋bx＋c＝0的解，那么 1．(1±i)2＝±2i；＝i；＝－i. 2．－b＋ai＝i(a＋bi)． 3．i4n＝1，i4n＋1＝i，i4n＋2＝－1，i4n＋3＝－i(n∈N＋)． 4．i4n＋i4n＋1＋i4n＋2＋i4n＋3＝0(n∈N＋)． [自主诊断] ◆[思考辨析] 　判断下列说法是否正确，正确的在它后面的括号里打“√”，错误的打“×”． (1)任何数的平方都不小于0.(　　 ) (2)已知z＝a＋bi(a，b∈R)，当a＝0时，复数z为纯虚数．(　　 ) (3)两个虚数的和还是虚数．(　　 ) (4)复数的模就是复数在复平面内对应向量的模．(　　 ) (5)复数中有相等复数的概念，因此复数可以比较大小．(　　 ) 答案：(1)×　(2)×　(3)×　(4)√　(5)× ◆[小题查验] 1．(2022·新高考Ⅰ卷，2)若i(1－z)＝1，则z＋＝(　　) A．－2　　 B．－1　　 C．1　　 D．2 解析：D　[对原式两边同时乘以i得：z－1＝i，即z＝1＋i，所以＝1－i，即z＋＝2，故选D.] 2．设a，b∈R.“a＝0”是“复数a＋bi是纯虚数”的(　　) A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 解析：B　[当a＝0，且b＝0时，a＋bi不是纯虚数；若a＋bi是纯虚数，则a＝0.故“a＝0”是“复数a＋bi是纯虚数”的必要而不充分条件. ] 3．(多选题)已知复数z＝－1＋i(i为虚数单位)，为z的共轭复数，若复数w＝，则下列结论正确的是(　　) A．w在复平面内对应的点位于第二象限 B．|w|＝1 C．w的实部为－ D．w的虚部为i 解析：ABC　[w＝＝＝＝＝－＋i，w在复平面内对应的点的坐标为，位于第二象限，|w|＝＝1，w的实部为－，虚部为.故选ABC.] 4．在复平面内，向量对应的复数是2＋i，向量对应的复数是－1－3i，则向量对应的复数是　________　. 解析：＝＋＝－1－3i＋(－2－i)＝－3－4i. 答案：－3－4i 5．若复数z＝2－i，则＋＝　________　. 解