第4章 第3节 向量的数量积-【创新教程】2024高考数学总复习大一轮教师用书word（新教材，人教B版）

第3节　向量的数量积 最新课程标准 教师专享 核心素养 考情聚焦 1.通过物理中功等实例，理解平面向量数量积的概念及其物理意义，会计算平面向量的数量积． 2．通过几何直观，了解平面向量投影向量的概念以及平面向量的数量积的几何意义． 3．能用坐标表示平面向量的数量积，会表示两个平面向量的夹角． 4．会用数量积判断两个平面向量的垂直关系，能用坐标表示平面向量垂直的条件． 5．会用向量方法解决简单的平面几何问题、力学问题以及其他实际问题，体会向量在解决数学和实际问题中的作用 1.平面向量数量积的运算，达成数学抽象和数学运算素养． 2．利用数量积求向量夹角和模，提升逻辑推理和数学运算素养． 3．平面向量的垂直及应用，增强逻辑推理和数学运算素养 　　高考中有关平面向量的数量积运算包含三类问题：①利用坐标计算平面向量的数量积；②根据平面向量的数量积的定义计算几何图形中相关向量的数量积；③根据数量积求参数值．数量积的运算、投影、模与夹角是高考的热点，有时与三角函数、平面几何、解析几何等结合考查，题型多以选择题、填空题为主，属于中档题，难度中等 [必备知识] 1．两个向量的夹角 定义 给定两个非零向量a，b，在平面内任选一点O，作＝a，＝b，则称[0，π]内的∠AOB为向量a与向量b的夹角，记作〈a, b〉 特例 〈a, b〉＝0 a与b同向 〈a, b〉＝π a与b反向 〈a, b〉＝ a与b垂直，记作　a⊥b　. 规定　零向量　与任意向量垂直 2.向量数量积的定义 (1)一般地，当a与b都是非零向量时，称　|a||b|cos〈a，b〉　为向量a与b的数量积(也称为内积)，记作a·b，即a·b＝|　a||b|cos〈a，b〉　. (2)向量数量积的性质 ①|a·b|≤　|a||b|　； ②a·a＝|　a　|2，即|a|＝.一般地，a·a可以简写为a2，因此性质②可以改写为a2＝|a|2. ③a与b垂直的充要条件是它们的数量积为0，即a⊥b⇔　a·b＝0　. ④当a与b至少有一个是零向量时，称它们的数量积为0，即a·b＝0. 3．投影向量 如图，已知a，b是两个非零向量，＝a，＝b，过起点A和终点B分别作所在直线的垂线，垂足分别为A1，B1，得到，我们称上述变换为向量a向向量b投影，叫做向量a在向量b上的投影向量．一般地若向量a，b的夹角为θ，则向量a在向量b上的投影向量为|a|·cos θ.或·. 4．平面向量数量积的性质及其坐标运算 已知非零向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，θ为向量a、b的夹角． 向量表示 坐标表示 数量积 a·b＝|a||b|cos θ a·b＝　x1x2＋y1y2　 模 |a|＝　　 |a|＝　　 夹角 cos θ＝ cos θ＝ 　　 a⊥b的 充要条件 a·b＝0 x1x2＋y1y2＝　0　 |a·b|与 |a||b|的 关系 |a·b|≤|a||b| (当且仅当a∥b 时等号成立) |x1x2＋y1y2|≤ · 4.平面向量数量积的运算律 已知向量a、b、c和实数λ，则 (1)交换律：a·b＝b·a； (2)结合律：(λa)·b＝＝a·(λb)； (3)分配律：(a＋b)·c＝a·c＋b·c. 1．平面向量数量积运算的常用公式 (1)(a＋b)·(a－b)＝a2－b2； (2)(a±b)2＝a2±2a·b＋b2. 2．有关向量夹角的两个结论 (1)两个向量a与b的夹角为锐角，则有a·b>0，反之不成立(因为夹角为0时不成立)； (2)两个向量a与b的夹角为钝角，则有a·b<0，反之不成立(因为夹角为π时不成立)． [自主诊断] ◆[思考辨析] 　判断下列说法是否正确，正确的在它后面的括号里打“√”，错误的打“×”． (1)两个向量的数量积是一个实数，向量的加、减、数乘运算的运算结果是向量．(　　) (2)向量a在向量b上的投影向量一定是数量．(　　) (3)由a·b＝0可得a＝0或b＝0.(　　) (4)(a·b)c＝a(b·c)．(　　) (5)两个向量的夹角的范围是.(　　) 答案：(1)√　(2)×　(3)×　(4)×　(5)× ◆[小题查验] 1．(2022·全国乙卷，3)已知向量a，b满足|a|＝1，|b|＝，|a－2b|＝3，则a·b＝(　　) A．－2　　 B．－1　　 C．1　　 D．2 解析：C　[由题设，|a－2b|＝3，得|a|2－4a·b＋4|b|2＝9，代入|a|＝1，|b|＝，有4a·b＝4，故a·b＝1，选择C.] 2．已知|a|＝2，向量a与向量b的夹角为120°，向量b的单位向量为e，则向量a在向量b方向上的投影向量等于(　　) A．2e B．e C．－e D．－2e 解析：