第4章 第2节 向量基本定理与向量的坐标-【创新教程】2024高考数学总复习大一轮教师用书word（新教材，人教B版）

第2节　向量基本定理与向量的坐标 最新课程标准 教师专享 核心素养 考情聚焦 1.了解平面向量的基本定理及其意义． 2．掌握平面向量的正交分解及其坐标表示． 3．会用坐标表示平面向量的加、减与数乘运算． 4．理解用坐标表示的平面向量共线的条件 1.平面向量的基本定理的应用，发展直观想象和数学运算素养． 2．平面向量的坐标运算，提升数学运算素养． 3．平面向量共线的坐标表示，增强数学抽象和数学运算素养 　　高考对平面向量的基本定理与坐标运算的考查主要有以下几方面：①平面向量基本定理及其意义；②用坐标表示平面向量的加法、减法与数乘运算；③用坐标表示平面向量共线的条件．对用坐标表示平面向量共线的条件的考查是比较突出的．考查的形式以选择题、填空题为主，难度中等 [必备知识] 1．平面向量基本定理 如果平面内两个向量a与b不共线，则对该平面内任意一个向量c，存在唯一的实数对(x，y)，使得c＝xa＋yb，平面内不共线的两个向量a与b组成的集合{a，b}称为该平面上向量的一组基底． 2．直线上向量的坐标 (1)数轴：在直线l上指定一点O作为原点，以e的方向为正方向，e的模为单位长度建立数轴． (2)a在轴l上的坐标：如果a＝xe，则x叫作向量a在轴l上的坐标． 3．直线上向量的坐标运算 (1)直线上两个向量相等：直线上两个向量为a＝x1e，b＝x2e，则a＝b⇔x1＝ x2. (2)直线上两个向量的和：设直线上两个向量为a＝x1e，b＝x2e，则a＋b＝( x1＋ x2)e. 4．平面向量的坐标 (1)向量垂直：平面上两个非零向量a与b，如果它们所在的直线互相垂直，就称向量a与b垂直，记作a⊥b.规定零向量与任意向量都垂直． (2)正交基底 如果平面向量的基底{ e1，e2}中，e1⊥e2就称这组基底为正交基底；在正交基底下向量的分解称为向量的正交分解． (3)向量的坐标 给定平面内两个相互垂直的单位向量e1，e2，对于平面内的向量a，如果a＝xe1＋ye2，则称(x，y)为向量a的坐标，记作a＝(x，y)． 5．平面向量的坐标运算 (1)向量加法、减法、数乘向量及向量的模 设a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a＋b＝　(x1＋x2，y1＋y2)　，a－b＝　(x1－x2，y1－y2)　，λa＝　(λx1，λy1)　，|a|＝　　. (2)向量坐标的求法 ①若向量的起点是坐标原点，则终点坐标即为向量的坐标． ②设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则＝　(x2－x1，y2－y1)　， ||＝　　.A、B两点的中点坐标 6．平面向量共线的坐标表示 设a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a∥b⇔　x1y2－x2y1＝0　. 1．若a与b不共线，λa＋μb＝0，则λ＝μ＝0. 2．已知△ABC的顶点A(x1，y1)，B(x2，y2)，C(x3，y3)，则△ABC的重心G的坐标为 . [自主诊断] ◆[思考辨析] 　判断下列说法是否正确，正确的在它后面的括号里打“√”，错误的打“×”． (1)平面内的任何两个向量都可以作为一组基底．(　　 ) (2)在△ABC中，向量，的夹角为∠ABC.(　　 ) (3)同一向量在不同基底下的表示是相同的．(　　 ) (4)若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a∥b的充要条件可表示成 ＝.(　　 ) (5)若a，b不共线，且λ1a＋μ1b＝λ2a＋μ2b，则λ1＝λ2，μ1＝μ2.(　　 ) 答案：(1)×　(2)×　(3)×　(4)×　(5)√ [小题查验] 1．已知向量a＝(2,4)，b＝(－1,1)，则2a＋b等于(　　 ) A．(5,7)　 B．(5,9)　 C．(3,7)　 D．(3,9) 解析：D　[2a＋b＝2(2,4)＋(－1,1)＝(3,9)．故选D.] 2．已知点A(0,1)，B(3,2)，向量＝(－4，－3)，则向量＝(　　 ) A．(－7，－4) B．(7,4) C．(－1,4) D．(1,4) 解析：A　[根据题意得＝(3,1)，∴＝－＝(－4，－3)－(3,1)＝(－7，－4)．故选A.] 3．(2022·新高考Ⅰ卷，3)在△ABC中，点D在边AB上，BD＝2DA，记＝m，＝n，则＝(　　) A．3m－2n B．－2m＋3n C．3m＋2n D．2m＋3n 解析：B　[如图，因为＝＋，BD＝2DA，所以＝＋＝n－m，＝3，＝＋3＝m＋3(n－m)＝3n－2m，故选B.] 4．在平行四边形ABCD中，＝a，＝b，＝3，M为BC的中点，则＝　________　(用a，b表示)． 解析：因为＝3，所以＝＝(a＋b)，又因为＝a＋b，所以＝－＝(a＋b)－＝－a＋b. 答案：－a＋b 5．e1，e2是不共线向量，且a＝－e1＋3e2，b＝4