第4章 第1节 平面向量及其线性运算-【创新教程】2024高考数学总复习大一轮教师用书word（新教材，人教B版）

第1节　平面向量及其线性运算 最新课程标准 教师专享 核心素养 考情聚焦 1.了解向量的实际背景，理解平面向量和向量相等的含义，理解向量的几何表示． 2．掌握向量加、减法的运算，并理解其几何意义． 3．掌握向量数乘的运算，并理解其几何意义，以及两个向量共线的含义． 4．了解向量的线性运算性质及其几何意义 1.平面向量的基本概念，发展数学抽象素养． 2．平面向量的线性运算，增强直观想象和数学运算素养． 3．向量共线定理及其应用，提升数学抽象和数学运算素养 　　平面向量的线性运算、共线向量定理是近几年高考命题的热点，尤其是向量的线性运算出现的频率较高．有时与三角、平面几何知识交汇考查，有时也会命制新定义问题．题型以选择题、填空题为主，属中低档题 [必备知识] 1．向量的有关概念 名称 定义 备注 向量 既有大小又有　方向　的量；||(或|a|)表示向量(或a)的大小，即长度(也称模). 平面向量是自由向量 零向量 长度为零的向量；其方向是　任意的　 记作　0　 单位向量 长度为单位1的向量 与非零向量a共线的单位向量为± 向量平行 或共线 表示两个向量的有向线段所在的直线平行或重合 a与b平行或共线，记作a∥b 相等向量 长度　相等　且方向　相同　的向量 两向量只有相等或不等，不能比较大小 相反向量 长度　相等　且方向　相反　的向量 0的相反向量为0 2.向量的线性运算 向量运算 定义 法则(或 几何意义) 运算律 加法 求两个向量和的运算叫做a与b的和 (1)交换律： a＋b＝　b＋a　； (2)结合律： (a＋b)＋c＝ 　a＋(b＋c　) 减法 平面上任意给定两个向量a·b，如果向量x满足b＋x＝a，则称x为向量a与b的差 a－b＝a＋(－b) 数乘 实数λ和向量a的乘积是一个向量，记作λa，λa的长度 |λa|＝|λ|·|a|. (1)|λa|＝ 　|λ||a|　； (2)当λ>0时，λa的方向与a的方向　相同　；当λ<0时，λa的方向与a的方向　相反　；当λ＝0时，λa＝　0　 (1)结合律 λ(μa)＝(λμ)a； (2)分配律 (λ＋μ)a＝ λa＋μa； λ(a＋b)＝λa＋λb 3.共线向量定理 如果a≠0且b∥a，则存在唯一实数λ，使b＝λa. 1．一般地，首尾顺次相接的多个向量的和等于从第一个向量起点指向最后一个向量终点的向量，即＋＋＋…＋An－1An＝.特别地，一个封闭图形首尾连接而成的向量和为零向量． 2．若P为线段AB的中点，O为平面内任一点，则＝(＋)． 3．若A、B、C是平面内不共线的三点，则＋＋＝0⇔P为△ABC的重心． 4.＝λ＋μ(λ，μ为实数)，若点A，B，C三点共线，则λ＋μ＝1. [自主诊断] ◆[思考辨析] 　判断下列说法是否正确，正确的在它后面的括号里打“√”，错误的打“×”． (1)若向量a，b共线，则向量a，b的方向相同．(　　 ) (2)若a∥b，b∥c，则a∥c.(　　 ) (3)向量与有向线段是一样的，因此可以用有向线段来表示向量．(　　 ) (4)|a|与|b|是否相等与a，b的方向无关．(　　 ) (5)已知两向量a，b，若|a|＝1，|b|＝1，则|a＋b|＝2.(　　 ) (6)向量与向量是共线向量，则A，B，C，D四点在一条直线上．(　　 ) (7)当两个非零向量a，b共线时，一定有b＝λa，反之成立．(　　 ) 答案：(1)×　(2)×　(3)×　(4)√　(5)× (6)×　(7)√ ◆[小题查验] 1．如图所示，向量a－b等于(　　 ) A．－4e1－2e2　　　　　 B．－2e1－4e2 C．e1－3e2 D．3e1－e2 解析：C　[由题图可得a－b＝＝e1－3e2.] 2．若||＝||，且＝，则四边形ABCD的形状为(　　 ) A．不是菱形的平行四边形 B．不是正方形的矩形 C．菱形 D．等腰梯形 解析：C　[因为＝，所以四边形ABCD为平行四边形．又因为||＝||，所以四边形ABCD为菱形．] 3．(2023·吕梁一模)在△ABC中，D为BC的中点，＝2，＝2，EF与AD交于G，＝λ，则λ＝(　　) A.　　　B.　　　C.　　　D. 解析：B　[由题设，＝(＋)＝＋，又μ＋(1－μ)＝，μ∈R且＝λ，所以μ＋(1－μ)＝λ＋λ， 即，解得.故选B.] 4．若菱形ABCD的边长为2，则|－＋|＝　________　. 解析：|－＋|＝|＋＋|＝||＝2. 答案：2 5．已知a与b是两个不共线的向量，且向量a＋λb与－(b－3a)共线，则λ＝　________　. 解析：由题意知存在k∈R，使得a＋λb＝k[－(b－3a)]，所以解得 答案：－ 　平