第3章 核心素养系列(二) 三角函数与解三角形高考中档大题的规范问题-【创新教程】2024高考数学总复习大一轮教师用书word（新教材，人教B版）

(二)　三角函数与解三角形高考中档大题的规范问题 三角函数不仅是数学的重要基础知识，同时也是解决其他问题的一种数学工具．高考命题者常在三角函数、解三角形和平面向量、数列等知识的交汇处命题．对三角函数与平面向量的考查，多以解答题的形式出现，难度中等．备考中注意与平面向量的加法、减法的几何意义，平行、垂直的条件以及数量积的定义相结合来寻找解题突破口，三角函数与数列相交汇时，常常用到数列的基本性质． [热点1]　与解三角形有关的条件选择开放题　 [典例3]　(2022·海口模拟)在①cos B＝，c＝3，②cos A＝，sin(A＋B)＝3sin B，③ab＝2，cos A＝三组条件中任选一组补充在下面问题中，并加以解答． 已知△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若△ABC的面积为，　____　，求b. ◆[学审题]　若选①：利用同角三角函数基本关系式可求sin B的值，利用三角形的面积公式可求a的值，进而根据余弦定理可求b的值；若选②：利用同角三角函数基本关系式可求sin A的值，利用正弦定理可求得c＝3b，根据三角形的面积公式可求b的值；若选③：根据三角形的面积公式可求sin C＝1，结合范围0＜C＜π，可求C＝，利用同角三角函数基本关系式可求sin A的值，由sin B的值，根据正弦定理可得a＝2b，进而解得b的值． [解]　(方法一)选①：cos B＝，c＝3. 因为cos B＝，0＜B＜π， 所以sin B＝. 由S△ABC＝acsin B＝×a×3×＝， 解得a＝2. 由余弦定理得b2＝a2＋c2－2accos B ＝8＋9－2×2×3×＝1， 所以b＝1. (方法二)选②：cos A＝，sin(A＋B)＝3sin B. 因为cos A＝，0＜A＜π，所以sin A＝. 因为A＋B＋C＝π，所以sin (A＋B)＝sin C. 所以sin C＝3sin B，由正弦定理可得c＝3b. 所以S△ABC＝bcsin A＝×b×3b×＝，所以b＝1. (方法三)选③：ab＝2，cos A＝. 因为S△ABC＝absin C＝×2×sin C＝，得sin C＝1. 又因为0＜C＜π，所以C＝. 因为cos A＝，0＜A＜π， 所以sin A＝，且sin B＝sin ＝cos A＝. 根据正弦定理＝，可得a＝2 B. 所以ab＝2b2＝2，解得b＝1. ◆[通技法]　本题考查解三角形、正弦定理和余弦定理的应用，考查了计算能力和转化思想，属于中档题，解答此类题目应熟练掌握正、余弦定理及三角形面积公式等知识，并做到灵活运用． 1．(2023·昌平区模拟)已知△ABC中，＜cos A. (1)求证：B是钝角； (2)若△ABC同时满足下列四个条件中的三个： ①sin A＝；②a＝2；③c＝；④sin C＝. 请指出这三个条件，说明理由，并求出b的值． 解：(1)因为＜cos A，由正弦定理可得＜cos A，在三角形中，sin C＝sin (A＋B)＝sin Acos B＋cos Asin B，且sin B＞0， 所以不等式整理为sin Acos B＋cos Asin B＜sin Bcos A，即sin Acos B＜0，在三角形中可得sin A＞0， 所以cos B＜0， 所以得证B为钝角； (2)(i)若满足①②③，则正弦定理可得＝，即＝，所以sin C＝， 又a＞c，所以A＞C，在三角形中，sin A＝，所以A＝或A＝π，而由(1)可得A＝， 所以可得C＝，B＝π－A－C＝π－－ ＝ π， 所以b＝＝＝＋1； (ii)若满足①②④，由(1)B为钝角，A，C为锐角，及sin A＝，sin C＝可得A＝，C＝，所以B＝π不符合B为钝角，故这种情况不成立； (iii)若满足②③④，由B为钝角，sin C＝，所以C＝，而a＞c，所以A＞C，这时B＜，不符合B为钝角的情况，所以这种情况不成立； 综上所述：只有满足①②③时b＝＋1. [热点2]　三角函数的图像和性质(规范解答)　 [典例2]　设f(x)＝2sin (π－x)sin x－(sin x－cos x)2. (1)求f(x)的单调递增区间； (2)把y＝f(x)的图像上所有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，再把得到的图像向左平移个单位，得到函数y＝g(x)的图像，求g的值． ◆[学审题]　(1)将f(x)化为Asin (ωx＋φ)＋b的形式后，利用y＝sin x的单调递增区间得出关于x的不等式，不等式的解集即为所求；(2)根据三角函数图像变换的方法，得出y＝g(x)的图像对应的解析式，再进行计算． ◆[学规范] [解]　(1)f(x)＝2sin (π－x)sin x－(sin x－cos x)2 ＝2sin2x－(1－2sin xcos x) ＝(1－cos 2