第3章 第6节 正弦定理与余弦定理-【创新教程】2024高考数学总复习大一轮教师用书word（新教材，人教B版）

第6节　正弦定理与余弦定理 最新课程标准 教师专享 核心素养 考情聚焦 通过对任意三角形边长和角度关系的探索，掌握正弦定理、余弦定理，并能解决一些简单的三角形度量问题 1.正、余弦定理的应用，提升数学抽象和数学运算素养． 2．利用正弦、余弦定理判定三角形的形状，增强逻辑推理和数学运算素养． 3．和三角形面积有关的问题，提升逻辑推理和数学运算素养 　　正弦定理和余弦定理是历年高考的必考内容，选择题、填空题主要考查利用正弦定理、余弦定理解三角形及三角形面积公式的应用，解答题常与三角函数的图像与性质及三角恒等变换相结合，属于中低档题 [必备知识] 1．正、余弦定理 在△ABC中，若角A，B，C所对的边分别是a，b，c，R为△ABC外接圆半径，则 定理 正弦定理 余弦定理 公式 ＝　　＝　　＝2R a2＝　b2＋c2－2bccos_A　； b2＝　c2＋a2－2cacos_B　； c2＝　a2＋b2－2abcos_C　 常见 变形 (1)a＝2Rsin A，b＝　2Rsin_B　，c＝　2Rsin_C　； (2)sin A＝，sin B＝　　，sin C＝； (3)a∶b∶c＝　sin_A∶sin_B∶sin_C　； (4)asin B＝bsin A，bsin C＝csin B，asin C＝csin A cos A＝　　； cos B＝　　； cos C＝　　 2.S△ABC＝absin C＝bcsin A＝acsin B＝＝(a＋b＋c)·r(r是三角形内切圆的半径)，并可由此计算R，r. 3．在△ABC中，已知a，b和A时，解的情况如下 A为锐角 A为钝角或直角 图形 关系式 a＝bsin A bsin A< a<b a≥b a>b a≤b 解的 个数 　一解　 　两解　 　一解　 　一解　 　无解　 　在△ABC中，常有以下结论 (1)∠A＋∠B＋∠C＝π. (2)在三角形中大边对大角，大角对大边． (3)任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边． (4)sin(A＋B)＝sin C；cos(A＋B)＝－cos C；tan(A＋B)＝－tan C；sin＝cos；cos＝sin. (5)tan A＋tan B＋tan C＝tan A·tan B·tan C. (6)∠A>∠B⇔a>b⇔sin A>sin B⇔cos A<cos B. [自主诊断] ◆[思考辨析] 　判断下列说法是否正确，正确的在它后面的括号里打“√”，错误的打“×”． (1)在△ABC中，sin A∶sin B∶sin C＝BC∶AC∶AB.(　　 ) (2)在△ABC中，若sin A＞sin B，则A>B.(　　 ) (3)在△ABC的六个元素中，已知任意三个元素可求其他元素．(　　 ) (4)在△ABC中，若a2>b2＋c2，则△ABC一定为钝角三角形．(　　) 答案：(1)√　(2)√　(3)×　 (4)√ ◆[小题查验] 1．在△ABC中，cos C＝，AC＝4，BC＝3，则tan B＝(　　) A.　　　　　　　　　 B．2 C．4 D．8 解析：C　[由余弦定理AB2＝AC2＋BC2－2AC·BCcos C＝9，即AB＝3，再使用余弦定理的推论知cos B＝＝，又因为B∈，所以tan B＝＝4.] 2．(2023·濮阳下学期开学考)在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且a2＋c2＝13，ac＝6，bsin A＝acos B，则b＝(　　) A.　　 B.　　 C.　　 D. 解析：A　[由bsin A＝acos B，根据正弦定理有： sin Bsin A＝sin Acos B， 因为在三角形中0<A<π，0<B<π，所以sin A>0， 从而有sin B＝cos B⇒tan B＝⇒B＝， 再由余弦定理有：cos B＝＝＝，解得b＝.故选A.] 3．△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c.若△ABC的面积为，则C＝(　　 ) A.　　　 B.　　　 C.　　　 D. 解析：C　[由题可知S△ABC＝absin C＝，所以a2＋b2－c2＝2absin C. 由余弦定理a2＋b2－c2＝2abcos C，所以sin C＝cos C，∵C∈(0，π)，∴C＝.] 4．在△ABC中，a＝2，b＝3，C＝60°，则c＝　________　，△ABC的面积等于　________　. 解析：易知c＝ ＝，△ABC的面积等于×2×3×＝. 答案：　 5．在△ABC中，若A＝60°，a＝4，b＝4，则B＝　________　. 解析：由正弦定理知＝，则sin B＝＝＝.又a>b，则A>B，所以B为锐角，故B＝45°. 答案：45° 　利用正、