第3章 第5节 正弦型函数的图像和性质-【创新教程】2024高考数学总复习大一轮教师用书word（新教材，人教B版）

第5节　正弦型函数的图像和性质 最新课程标准 教师专享 核心素养 考情聚焦 1.结合具体实例，了解函数y＝Asin(ωx＋φ)的实际意义． 2．能画出y＝Asin(ωx＋φ)的图像，借助图像理解参数A，ω，φ的意义，了解参数的变化对函数图像的影响． 3．会用三角函数解决一些简单的实际问题，体会可以利用三角函数构建刻画事物周期变化的数学模型 1.由图像确定y＝Asin(ωx＋φ)的解析式，发展直观想象和数学运算素养． 2．由图像变换法确定y＝Asin(ωx＋φ)的解析式，增强直观想象和数学运算素养． 3．三角函数模型及其应用，提升数学建模和数学运算素养 　　函数y＝Asin(ωx＋φ)图像的变换以及根据图像和简单性质确定A、ω、φ的取值为高考中的一个热点，主要考查考生识图、辨图的能力及三角恒等变换问题，题型多以选择题或填空题的形式出现，且难度不大，属中低档题．有时也作为解答题中的一问或某一环节中有所涉及 [必备知识] 1．正弦型函数的定义 一般地，形如y＝Asin (ωx＋φ)的函数，称为正弦型函数，其中A，ω，φ都是常数，且A≠0，ω≠0. 2．φ，ω，A对函数y＝sin(x＋φ)图像的影响 (1)φ对函数y＝sin(x＋φ)，x∈R的图像的影响 (2)ω(ω＞0)对y＝sin(ωx＋φ)的图像的影响 (3)A(A＞0)对y＝Asin(ωx＋φ)的图像的影响 3．正弦型函数的性质 (1)一般地，正弦型函数y＝Asin(ωx＋φ)(A≠0，ω≠0)的定义域为R，值域为[－|A|，|A|]，周期是T＝，而且函数的图像可通过对正弦曲线进行平移、伸缩得到． (2)正弦型函数中的常数A，ω，φ的实际意义：|A|称为振幅；φ称为初相；周期T＝， f＝＝称为频率． 4．“五点法”作函数y＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0)的简图 “五点法”作图的五点是在一个周期内的最高点、最低点及与x轴相交的三个点，作图时的一般步骤为 (1)定点：如下表所示． x 　－　 　　 　　 　　 　　 ωx＋φ 　0　 　　 　π　 　　 　2π　 y＝Asin(ωx＋φ) 0 A 0 －A 0 (2)作图：在坐标系中描出这五个关键点，用平滑的曲线顺次连接得到y＝Asin(ωx＋φ)在一个周期内的图像． (3)扩展：将所得图像，按周期向两侧扩展可得y＝Asin(ωx＋φ)在R上的图像． y＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0)中各个字母的含义 A所起的作用是图像上每个点的横坐标不变，纵坐标变化为原来的A倍，简称为振幅变换；ω所起的作用是图像上的每个点的纵坐标不变，横坐标变化为原来的倍，简称为周期变换；φ所起的作用是将函数图像左右平移个单位，简称为相位变换． [自主诊断] ◆[思考辨析] 判断下列说法是否正确，正确的在它后面的括号里打“√”，错误的打“×”． (1)将函数y＝sin ωx的图像向右平移φ(φ＞0)个单位长度，得到函数y＝sin(ωx－φ)的图像．(　　 ) (2)要得到函数y＝sin ωx(ω＞0)的图像，只需将函数y＝sin x上所有点的横坐标变为原来的ω倍．(　　 ) (3)将函数y＝sin x图像上各点的纵坐标变为原来的A(A＞0)倍，便得到函数y＝Asin x的图像．(　　 ) (4)函数f(x)＝sin2x的最小正周期和最小值分别为π，0.(　　 ) (5)函数y＝Acos(ωx＋φ)的最小正周期为T，那么函数图像的两个相邻对称中心之间的距离为.(　　 ) 答案：(1)×　(2)×　(3)√　(4)√　(5)√ ◆[小题查验] 1．函数y＝sin在区间上的简图是(　　 ) 解析：A　[令x＝0得y＝sin＝－，排除B，D.由f＝0，f＝0，排除C，故选A.] 2．(2022·浙江卷，6)为了得到函数y＝2sin 3x的图像，只要把函数y＝2sin图像上所有的点(　　) A．向左平移个单位长度 B．向右平移个单位长度 C．向左平移个单位长度 D．向右平移个单位长度 解析：D　[函数图像平移满足左加右减，y＝2sin＝2sin，因此需要将函数图像向右平移个单位长度，可以得到y＝2sin 3x的图像．故本题选D.] 3．(多选题)如图是函数y＝sin(ωx＋φ)的部分图像，则sin(ωx＋φ)＝(　　) A．sin　　　　 B．sin C．cos D．cos 解析：BC　[由f(0)>0，排除D；由T＝π，排除A；因此选BC.] 4．(2022·北京卷，13)若函数f(x)＝Asin x－cos x的一个零点为，则A＝　________　；f＝　________　. 解析：f＝Asin－cos＝A－＝0，解得A＝1.f(x)＝sin x－cos x＝2sin， 故f＝2sin＝2