第3章 第4节 三角恒等变换-【创新教程】2024高考数学总复习大一轮教师用书word（新教材，人教B版）

第4节　三角恒等变换 最新课程标准 教师专享 核心素养 考情聚焦 1.经历推导两角差余弦公式的过程，知道两角差余弦公式的意义． 2．能从两角差的余弦公式推导出两角和与差的正弦、正切公式，二倍角的正弦、余弦、正切公式，了解它们的内在联系． 3．能运用上述公式进行简单的恒等变换(包括推导出积化和差、和差化积、半角公式，这三组公式不要求记忆) 1.三角函数式的化简，发展数学抽象和数学运算素养． 2．三角函数式的求值，提升数学运算素养． 3．三角变换的简单应用，增强数学抽象和数学运算素养 　　本部分内容以两角和与差的三角函数公式、倍角公式为化简基础，考查三角函数关系式的化简与求值，利用同角三角函数的基本关系式变异名为同名的三角函数，结合诱导公式、和差角公式及倍角公式进行恒等变形为高考热点，考查题型多样，但一般属于中低档题型，难度不大．常与三角函数式的化简求值、三角函数的图像与性质、向量等知识综合考查 [必备知识] 1．两角和与差的三角函数公式 sin(α＋β)＝　sin_αcos_β＋cos_αsin_β　；(Sα＋β) sin(α－β)＝　sin_αcos_β－cos_αsin_β　；(Sα－β) cos(α＋β)＝　cos_αcos_β－sin_αsin_β　；(Cα＋β) cos(α－β)＝　cos_αcos_β＋sin_αsin_β　；(Cα－β) tan(α＋β)＝；(Tα＋β) tan(α－β)＝.(Tα－β) 2．二倍角公式 sin 2α＝　2sin_αcos_α　；(S2α) cos 2α＝　cos2α－sin2α＝2cos2α－1＝1－2sin2α　；(C2α) tan 2α＝.(T2α) 3．公式的变形与应用 (1)两角和与差的正切公式的变形 tan α＋tan β＝　tan(α＋β)(1－tan_αtan_β)　； tan α－tan β＝　tan(α－β)(1＋tan_αtan_β)　. (2)升幂公式 1＋cos α＝2cos2；1－cos α＝2sin2. (3)降幂公式 sin2α＝；cos2α＝. 4．辅助角公式 asin α＋bcos α＝sin(α＋φ)，其中cos φ＝，sin φ＝ . 5．角的拆分与组合 (1)已知角表示未知角 例如，2α＝(α＋β)＋(α－β)，2β＝(α＋β)－(α－β)， α＝(α＋β)－β＝(α－β)＋β， α＝－＝＋. (2)互余与互补关系 例如，＋＝π， ＋＝. (3)非特殊角转化为特殊角 例如，15°＝45°－30°，75°＝45°＋30°. 1．sin 2α＝＝； 2．cos 2α＝＝； 3．1±sin α＝2； 4．tan＝＝. [自主诊断] ◆[思考辨析] 判断下列说法是否正确，正确的在它后面的括号里打“√”，错误的打“×”． (1)存在实数α，β，使等式sin(α＋β)＝sin α＋sin β成立．(　　 ) (2)公式tan(α＋β)＝可以变形为tan α＋tan β＝tan(α＋β)(1－tan αtan β)，且对任意角α，β都成立．(　　 ) (3)存在实数α，使tan 2α＝2tan α.(　　 ) (4)当α是第一象限角时，sin ＝ .(　　 ) (5)公式asin x＋bcos x＝sin(x＋φ)中φ的取值与a，b的值无关．(　　 ) 答案：(1)√　(2)×　(3)√　(4)×　(5)× ◆[小题查验] 1．sin 20°cos 10°－cos 160°sin 10°＝(　　 ) A．－　　　 B.　　 C．－　　　 D. 解析：D　[sin 20°cos 10°－cos 160°sin 10°＝ sin 20°cos 10°＋cos 20°sin 10°＝sin 30°＝.] 2．若tan θ＝－，则cos 2θ＝(　　 ) A．－ B．－ C. D. 解析：D　[cos 2θ＝cos2θ－sin2θ＝＝＝.] 3．(2022·新高考Ⅱ卷，6)若sin(α＋β)＋cos(α＋β)＝2cos sin β，则(　　) A．tan(α－β)＝1 B．tan(α＋β)＝1 C．tan(α－β)＝－1 D．tan(α＋β)＝－1 解析：C　[由已知得：sin αcos β＋cos αsin β＋cos αcos β－sin αsin β＝2(cos α－sin α)sin β， 即sin αcos β－cos αsin β＋cos αcos β＋sin αsin β＝0，即sin(α－β)＋cos(α－β)＝0，所以tan(α－β)＝－1，故选C.] 4．若sin x＝－，则cos 2x＝　________　. 解析：直接应用二倍角的余弦公式，cos 2x＝1－2sin2x＝1－22＝1－＝. 答案： 5．函数