第3章 第3节 三角函数的图像与性质-【创新教程】2024高考数学总复习大一轮教师用书word（新教材，人教B版）

第3节　三角函数的图像与性质 最新课程标准 教师专享 核心素养 考情聚焦 1.能画出y＝sin x，y＝cos x，y＝tan x的图像，了解三角函数的周期性、单调性、奇偶性、最大(小)值． 2．借助图像理解正弦函数、余弦函数在[0,2π]上的性质(如单调性、最大值和最小值、图像与x轴的交点等)，正切函数在上的性质 1.三角函数的定义域与值域(最值)，达成直观想象和数学运算的素养． 2．三角函数的单调性，增强逻辑推理和数学运算的素养． 3．三角函数的周期性、奇偶性和对称性，提升逻辑推理和数学运算的素养 　　三角函数的奇偶性、周期性、单调性及最值是高考的热点，题型既有选择题、填空题，又有解答题，一般难度不会太大，属中低档题型，通常与三角恒等变换相结合，在考查三角函数性质的同时，又考查了三角恒等变换的方法与技巧．考查考生函数与方程、转化与化归、数形结合等数学思想的运用 [必备知识] 1．用五点法作正弦函数和余弦函数的简图 正弦函数y＝sin x，x∈[0,2π]的图像中，五个关键点是：(0,0)，，(π，0)，，(2π，0)． 余弦函数y＝cos x，x∈[0,2π]的图像中，五个关键点是：(0,1)，，(π，－1)，，(2π，1)． 2．正弦、余弦、正切函数的图像与性质(下表中k∈Z) 函数 y＝sin x y＝cos x y＝tan x 图像 定义域 R R {x 值域 [－1,1] [－1,1] R 周期性 2π 　2π　 　π　 奇偶性 奇函数 偶函数 奇函数 递增 区间 　　　 　[2kπ－π，2kπ]　 递减 区间 　　 　　 　[2kπ，2kπ＋π]　 无 对称 中心 　(kπ，0)　 　　 对称轴 方程 x＝kπ＋ 　x＝kπ　 无 1．对称与周期的关系 正弦曲线、余弦曲线相邻的两个对称中心、相邻的两条对称轴之间的距离是半个周期，相邻的对称中心与对称轴之间的距离是四分之一个周期；正切曲线相邻两个对称中心之间的距离是半个周期． 2．与三角函数的奇偶性相关的结论 (1)若y＝Asin (ωx＋φ)为偶函数，则有φ＝kπ＋(k∈Z)；若为奇函数，则有φ＝kπ(k∈Z)． (2)若y＝Acos (ωx＋φ)为偶函数，则有φ＝kπ(k∈Z)；若为奇函数，则有φ＝kπ＋(k∈Z)． (3)若y＝Atan (ωx＋φ)为奇函数，则有φ＝(k∈Z)． [自主诊断] ◆[思考辨析] 　判断下列说法是否正确，正确的在它后面的括号里打“√”，错误的打“×”． (1)函数y＝sin x的图像介于直线y＝1与y＝－1之间．(　　 ) (2)将余弦曲线向右平移个单位就得到正弦曲线．(　　 ) (3)函数y＝sin是奇函数．(　　 ) (4)函数y＝sin x的对称轴方程为x＝2kπ＋(k∈Z)．(　　 ) (5)正切函数在整个定义域内是增函数．(　　 ) 答案：(1)√　(2)√　(3)×　(4)×　(5)× ◆[小题查验] 1．函数f(x)＝sin的最小正周期为(　　 ) A．4π　　 B．2π　　 C．π　　　 D. 解析：C　[函数f(x)＝sin 的最小正周期为T＝＝π.] 2．已知函数f(x)＝2sin(ω>0)的最小正周期为π，则f(x)的单调递增区间为(　　 ) A.(k∈Z) B.(k∈Z) C.(k∈Z) D.(k∈Z) 解析：D　[根据已知得＝π，得ω＝2.由不等式2kπ－≤2x－≤2kπ＋(k∈Z)，解得kπ－≤x≤kπ＋(k∈Z)，所以函数f(x)的单调递增区间是(k∈Z)．] 3．(2022·新高考Ⅰ卷，6)记函数f(x)＝sin＋b(ω＞0)的最小正周期为T，若＜T＜π，且y＝f(x)的图像关于点中心对称，则f＝(　　) A．1 B. C. D．3 解析：A　[ω＝∈(2,3)，y＝f(x)的函数图像关于点中心对称，则有b＝2，且f＝2，所以sin＋2＝2，则ω＋＝2kπ，k∈Z；解得ω＝，由ω∈(2,3]得k＝2，ω＝，故f＝sin＋2＝－1＋2＝1.] 4．函数y＝tan 的图像与x轴交点的坐标是　________　. 解析：由2x＋＝kπ(k∈Z)得，x＝－(k∈Z)． ∴函数y＝tan的图像与x轴交点的坐标是，(k∈Z)． 答案：(k∈Z) 5．(2022·全国乙卷，15)记函数f(x)＝cos(ωx＋φ)(ω>0,0<φ<π)的最小正周期为T.若f(T)＝，x＝为f(x)的零点，则ω的最小值为　________　. 解析：f(T)＝f(0)＝cos φ＝，且0＜φ＜π， 故φ＝， f＝cos＝0⇒ω＋＝＋kπ(k∈Z)⇒ω＝3＋9k(k∈Z)， 又ω＞0，故ω的最小值为3. 答案：3