第3章 第1节 任意角、弧度制及任意角的三角函数-【创新教程】2024高考数学总复习大一轮教师用书word（新教材，人教B版）

第1节　任意角、弧度制及任意角的三角函数 最新课程标准 教师专享 核心素养 考情聚焦 1.了解任意角的概念和弧度制的概念，体会引入弧度制的必要性． 2．能进行弧度与角度的互化． 3．借助单位圆理解三角函数(正弦、余弦、正切)的定义 1.角的集合表示及象限角的判定，达成数学抽象素养． 2．扇形的弧长及面积公式，发展数学抽象和数学运算素养． 3．三角函数的定义，提升数学抽象和数学运算素养． 4．三角函数线、三角函数值的符号，提升直观想象素养 　　对于角的概念与分类、弧度制及任意角的三角函数定义单独命题的概率很小，多与其他知识相结合，如三角恒等变换、同角三角函数基本关系式及诱导公式等综合命题，题型一般为选择题、填空题形式，属于中低档题目，考查学生的基本运算能力及等价转化能力 [必备知识] 1．角的概念的推广 (1)定义：角可以看成是一条射线绕着它的　端点　从一个位置旋转到另一个位置所形成的图形． (2)分类 (3)终边相同的角：所有与角α终边相同的角组成一个集合，这个集合可记为S＝{β|β＝α＋k·360°，k∈Z}． 2．弧度制的定义和公式 (1)定义：把长度等于　半径长　的弧所对的圆心角叫做1弧度的角，弧度记作rad. (2)公式 角α的弧度数公式 |α|＝(弧长用l表示) 角度与弧度的换算 ①1°＝rad； ②1 rad＝　°　 弧长公式 弧长l＝　|α|r　 扇形面积公式 S＝lr＝　|α|r2　 3.任意角的三角函数 前提 如图，设α是一个任意角，P(x，y)是α终边上异于原点的任意一点，r＝ 定义 正弦 称为α的正弦，记作sin α，即sin α＝ 余弦 称为α的余弦，记作cos α，即cos α＝ 正切 称为α的正切，记作tan α，即tan α＝ 三角 函数 对于每一个角α，都有唯一确定的　正弦、余弦　与之对应；当α≠＋kπ(k∈Z)时，有唯一的正切与之对应．角α的正弦、余弦与正切，都称为α的三角函数 4. 单位圆的相关概念 (1)定义：一般地，在平面直角坐标系中，坐标满足　x2＋y2＝1　的点组成的集合称为　单位圆　. (2)α的坐标：如果角α的终边与单位圆的交点为P，则P的坐标为(cos α，sin α)．这就是说，角α的余弦和正弦分别等于角α终边与单位圆交点的　横坐标　和　纵坐标　. 5．三角函数线 (1)正弦线和余弦线的概念： 如图所示，如果过角α终边与单位圆的交点P作x轴的垂线，垂足为M，则可以直观地表示cos α：的方向与x轴的正方向相同时，表示cos α是　正数　， 且cos α＝||；的方向与x轴的正方向相反时，表示cos α是　负数　，且cos α＝－||. 习惯上，称为角α的余弦线. 类似地，图中的可以直观的表示sin α，因此称为角α的正弦线． (2)正切线的概念： 如图所示，设角α的终边与直线 　x＝1　交于点T，则可以直观地表示tan α，因此称为角α的正切线． 1．三角函数值的符号规律 三角函数值在各象限内的符号：一全正、二正弦、三正切、四余弦． 2．若α分别为Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ、Ⅳ象限角，则所在象限如图 3．若α∈，则tan α>α>sin α. 4. 5. [自主诊断] ◆[思考辨析] 　判断下列说法是否正确，正确的在它后面的括号里打“√”，错误的打“×”． (1)小于90°的角是锐角．(　　) (2)锐角是第一象限角，反之亦然．(　　) (3)三角形的内角必是第一、第二象限角．(　　) (4)不相等的角终边一定不相同．(　　) (5)终边相同的角的同一三角函数值相等．(　　) (6)点P(tan α，cos α)在第三象限，则角α终边在第二象限．(　　) (7)α∈，则tan α>α>sin α.(　　) (8)α为第一象限角，则sin α＋cos α>1.(　　) 答案：(1)×　(2)×　(3)×　(4)×　(5)√ (6)√　(7)√　(8)√ ◆[小题查验] 1．－870°角的终边在第几象限(　　) A．一　　 B．二　　 C．三　　 D．四 解析：C　[∵－870°＝－360°×3＋210°， ∴－870°与210°角终边相同． 又∵210°角的终边在第三象限， ∴－870°角的终边在第三象限．故选C.] 2．(2023·湖北新高考联考协作体联考)已知sin(π－θ)>0，cos θ<0，则θ是(　　) A．第一象限角 B．第二象限角 C．第三象限角 D．第四象限角 解析：B　[由sin(π－θ)>0，得sin θ>0， 又cos θ<0，∴θ是第二象限角．故选B.] 3．(2023·青岛模拟)已知角α的终边上一点P的坐标为，则角α的最小正值为(　　) A. B. C. D. 解析：　D　[因为si