第2章 核心素养系列(一) 函数与导数高考压轴大题的突破问题-【创新教程】2024高考数学总复习大一轮教师用书word（新教材，人教B版）

　　 (一)　函数与导数高考压轴大题的突破问题 函数与导数的压轴试题，在每年的高考中属于必考内容，其命题方向主要有两个：一是围绕函数的性质考查函数的奇偶性、单调性、周期性、极值、最值、曲线的切线等问题展开，二是围绕函数与方程、不等式关系探索方程根的个数、不等式的证明、不等式恒成立等问题展开．此类压轴试题难度较大，逻辑推理能力较强，在今后的备考中不可小视． [策略一]　运用分类讨论——各个击破　 [例1]　已知函数f(x)＝ex＋ax2－x. (1)当a＝1时，讨论f(x)的单调性； (2)当x≥0时，f(x)≥x3＋1，求a的取值范围． [解]　(1)当a＝1时，f(x)＝ex＋x2－x， f′(x)＝ex＋2x－1，记g(x)＝f′(x)，因为g′(x)＝ex＋2>0，所以g(x)在R上单调递增， 即f′(x)在R上单调递增，又因为f′(0)＝0，所以当x>0时，f′(x)>0. 所以f(x)的单调增区间为(0，＋∞)，单调减区间为(－∞，0)． (2)当x≥0时，f(x)≥x3＋1恒成立， (ⅰ)当x＝0时，a∈R； (ⅱ)当x>0时，即a≥恒成立， 记h(x)＝，所以h′(x)＝， 记g(x)＝ex－x2－x－1，因为当x≥0，g′(x)＝ex－x－1，所以g″(x)＝ex－1≥0恒成立， g′(x)在(0，＋∞)上单调递增，所以[g′(x)]min＝g′(0)＝0， 所以g′(x)≥0恒成立，所以g(x)在(0，＋∞)上单调递增，所以[g(x)]min＝g(0)＝0， 令h′(x)＝0，可得x＝2，当x∈(0,2)时，h′(x)>0，h(x)在(0,2)上单调递增， 当x∈(2，＋∞)时，h′(x)<0，h(x)在(2，＋∞)上单调递减，所以[h(x)]max＝h(2)＝. 所以a≥. 综上，a的取值范围为. 函数性质综合问题难点是函数单调性和极值、最值的分类讨论． (1)单调性讨论策略：单调性的讨论是以导数等于零的点为分界点，把函数定义域分段，在各段上讨论导数的符号，在不能确定导数等于零的点的相对位置时，还需要对导数等于零的点的位置关系进行讨论． (2)极值讨论策略：极值的讨论是以单调性的讨论为基础，根据函数的单调性确定函数的极值点． (3)最值讨论策略：图像连续的函数在闭区间上最值的讨论，是以函数在该区间上的极值和区间端点的函数值进行比较为标准进行的，在极值和区间端点函数值中最大的为最大值、最小的为最小值． 1．(2023·莆田市模拟)已知函数f(x)＝sin x－x cos x. (1)证明：当x∈(0，π)时，f(x)＞0； (2)记函数g(x)＝f(x)－x，判断g(x)在区间(－2π，2π)上零点的个数． 解：(1)由题设得，f′(x)＝xsin x， 当x∈(0，π)时，x＞0，sin x＞0， 所以f′(x)＝xsin x＞0， 所以f(x)在(0，π)上单调递增， 所以f(x)＞f(0)＝0. (2)由题意得g(x)＝sin x－xcos x－x， 则g′(x)＝xsin x－1， 注意到g(π)＝0，即x＝π为g(x)的一个零点． ①当x∈时，设h(x)＝sin x－x,0＜x≤，则h′(x)＝cos x－1＜0， 所以h(x)在上单调递减，所以h(x)＜sin 0－0＝0， 所以此时g(x)＝sin x－x－xcos x＜0， 故g(x)在上无零点． ②当x∈时，令H(x)＝g′(x)＝xsin x－1，则H′(x)＝sin x＋xcos x， 令m(x)＝H′(x)＝sin x＋xcos x，则m′(x)＝2cos x－xsin x，当x∈时，m′(x)＜0，所以m(x)在上单调递减，即H′(x)在上单调递减． sin ＋cos＝1＞0，sin π＋πcos π＝－π＜0，故H′(x)在上存在唯一零点x0， 当x∈时，H′(x)＞0，则H(x)在上单调递增，即g′(x)在上单调递增， 当x∈(x0，π)时，H′(x)＜0，则H(x)在(x0，π)上单调递减，即g′(x)在(x0，π)上单调递减． 所以g′(x0)＞g′＝－1＞0，又g′(π)＝－1＜0，所以g′(x)在上存在唯一零点x1. 当x∈时，g′(x)＞0，则g(x)在上单调递增， 当x∈(x1，π)时，g′(x)＜0，则g(x)在(x1，π)上单调递减． 所以g(x1)＞g(π)＝0，又g＜0， 故g(x)在上存在唯一零点， 即g(x)在上存在唯一零点． ③当x∈(π，2π)时，x＞0，sin x＜0，所以g′(x)＝xsin x－1＜0， 所以g(x)在(π，2π)上单调递减． 所以g(x)＜g(π)＝0，故g(x)在(π，2π)上无零点． 结合①②③和g(π)＝0可知，g(x)在(0,2π) 上共有2个零点， 注意到g(x)为