第2章 第13节 第2课时 利用导数研究不等式的恒成立、能成立问题-【创新教程】2024高考数学总复习大一轮教师用书word（新教材，人教B版）

第二课时　利用导数研究不等式的恒成立、能成立问题 利用导数研究不等式恒成立求参数范围问题是高考考查的重点，常转化为函数的最值问题求解． 　　　　　　对应学生用书P71 　分离参数法求参数范围 [典例]　 (2023·佛山市一模)已知a∈R，函数f(x)＝x(ex－2a)－ax2. (1)若f(x)有极小值且极小值为0，求a的值； (2)当x∈R时，f(2x)≥2f(x)，求a的取值范围． [解]　(1)f′(x)＝(ex－2a)＋xex－2ax＝ (x＋1)(ex－2a)，x∈R. ①若a≤0，由f′(x)＝0解得x＝－1. ∴当x＜－1时，f′(x)＜0，当x＞－1时，f′(x)＞0， ∴当x＝－1时，f(x)取得极小值f(－1)＝a－＝0，解得a＝(舍去)； ②若a＞0，由f′(x)＝0解得x＝－1或x＝ln (2a)， (ⅰ)若ln (2a)＜－1，即0＜a＜， ∴当x＜ln (2a)时，f′(x)＞0，当ln (2a)＜x＜－1时，f′(x)＜0， 当x＞－1时，f′(x)＞0， ∴当x＝－1时，f(x)取得极小值f(－1)＝a－＝0，解得a＝(舍去)； (ⅱ)若ln (2a)＝－1，即a＝时，f′(x)≥0，此时f(x)没有极小值； (ⅲ)若ln (2a)＞－1，即a＞， ∴当x≤－1时，f′(x)＞0，当－1＜x＜ln (2a)时，f′(x)＜0，当x＞ln (2a)时，f′(x)＞0， ∴当x＝ln (2a)时，f(x)取得极小值f(ln (2a))＝－aln 2(2a)＝0，解得a＝.综上，a＝. (2)f(2x)－2f(x)＝2x(e2x－2a)－4ax2－2x(ex－2a)＋2ax2＝2x(e2x－ex)－2ax2≥0， 显然当x＝0时，上式恒成立，当x≠0时，a≤. 令g(x)＝＝(x≠0)，则当x＜0时，ex－1＜0，当x＞0时，ex－1＞0， ∴g(x)＞0，且当x→－∞时，g(x)→0， ∴a≤0，即a的取值范围是(－∞，0]． 已知不等式f(x，λ)≥0(λ为实参数)对任意的x∈D恒成立，求参数λ的取值范围．利用导数解决此类问题可以运用分离参数法，其一般步骤如下： 第一步，将原不等式f(x，λ)≥0(x∈D，λ为实参数)分离，使不等式的一边是参数，另一边不含参数，即化为f1(λ)≥f2(x)或f1(λ)≤f2(x)的形式； 第二步，利用导数求出函数f2(x)(x∈D)的最大(小)值； 第三步，解不等式f1(λ)≥f2(x)max或f1(λ)≤f2(x)min从而求出参数λ的取值范围． (2023·南昌市一模)已知函数f(x)＝ln (ax)＋bx在点(1，f(1))处的切线是y＝0. (1)求函数f(x)的极值； (2)当≥f(x)＋x(m<0)恒成立时，求实数m的取值范围(e为自然对数的底数)． 解：(1)因为f(x)＝ln (ax)＋bx，所以f′(x)＝＋b＝＋b，因为点(1，f(1))处的切线是y＝0，所以f′(1)＝1＋b＝0，且f(1)＝ln a＋b＝0，所以a＝e，b＝－1，即f(x)＝ln x－x＋1，x∈(0，＋∞)， 所以f′(x)＝－1＝，即f(x)在(0,1)上单调递增，在(1，＋∞)上单调递减，所以f(x)的极大值为f(1)＝ln e－1＝0，无极小值． (2)当≥f(x)＋x(m＜0)在x∈(0，＋∞)上恒成立时，由(1)f(x)＝ln x－x＋1，即≥－2＋(m＜0)在x∈(0，＋∞)上恒成立， 解法一：设g(x)＝，h(x)＝＋－2，则g′(x)＝，h′(x)＝－， 又因为m＜0，所以当0＜x＜1时，g′(x)＜0，h′(x)＞0； 当x＞1时，g′(x)＞0，h′(x)＜0. 所以g(x)在(0,1)上单调递减，在(1，＋∞)上单调递增， g(x)min＝g(1)＝；h(x)在(0,1)上单调递增，在(1，＋∞)上单调递减，h(x)max＝h(1)＝－1. 所以g(x)，h(x)均在x＝1处取得最值，所以要使g(x)≥h(x)恒成立，只需g(x)min≥h(x)max，即≥－1，解得m≥1－e，又m＜0，所以实数m的取值范围是[1－e,0)． 解法二：设g(x)＝－－2＋(x∈(0，＋∞))，则g′(x)＝＋， 当0＜x＜1时，－ln x＞0，x－1＜0，则>0，>0，即g′(x)＞0， 当x＞1时，－ln x＜0，x－1＞0，则<0，<0，即g′(x)＜0， 所以g(x)在x∈(0,1)上单调递增，在x∈(1，＋∞)上单调递减．所以g(x)max＝g(1)＝1－2＋－≤0，即≥－1，又m＜0所以实数m的取值范围是[1－e，0)． 　分类讨论法求参数范围 [典例]　(2023·莆田市模拟)已知函数f(x)＝x(ex－2)－ax2＋1. (1)求f(x)图像在x